Примеры решения задач по математике Уравнения эллиптического типа Скалярное произведение векторов Уравнение плоскости Системы линейных уравнений

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Примеры решения задач

В учебном пособии приводятся способы нахождения точных решений различных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и методы приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Каждый раздел пособия содержит теоретическое описание метода, образцы решения задач и набор задач для самостоятельного решения. Даются три типовых расчета: по методам решений дифференциальных уравнений с частными производными, а также по приближенным  и вариационным методам. Теоретические выкладки снабжены практическими примерами. 

Вывод уравнения колебания струны В математической физике под струной понимают гибкую упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длиной l в начальный момент направлена по отрезку оси Ox от 0 до l.

Задача Коши Найти решение уравнения (2) для бесконечной области  удовлетворяющее в области  начальным условиям (3), (4). Граничные условия отсутствуют.

Использование метода Фурье при решении первой краевой задачи

Метод Фурье для решения второй краевой задачи

Найти решение уравнения  при следующих условиях: . (Вторая краевая задача).

Уравнения параболического типа

Решение первой краевой задачи методом Фурье

Общее решение уравнения теплопроводности

Распространение тепла в неограниченном стержнет Пусть в начальный момент задана температура в различных сечениях неограниченного стержня. Требуется определить распределение температуры в стержне в последующие моменты времени. К задаче распространения тепла в неограниченном стержне сводятся физические задачи в том случае, когда стержень столь длинный, что температура во внутренних точках стержня в рассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на концах стержня.

Найти решение уравнения , , , удовлетворяющее начальным условиям

и краевым условиям .

 Решение. Решение будем искать в виде (22):

,

где . Пределы числовых последовательностей и функций. Образец выполнения типового расчёта № 1. Задание. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость

Вычислим коэффициенты разложения для нашей функции

С учетом того, что , окончательно имеем

.

[an error occurred while processing this directive]

Найти решение уравнения  , , удовлетворяю­щее начальным условиям  и краевым условиям , .

 Решение. Решение будем искать в виде (22):

  .

Вычислим коэффициенты ряда:

 

С учетом того, что , , окончательно найдем решение в виде

Найти распределение температуры стержня в любой момент времени , если начальная температура , концы стержня теплоизолированы.

Решение. Задача имеет вид: , , , ,  – условия теплоизоляции. Решение будем искать в виде (26):

,

где , k = 1, 2, … .

Для нашего случая коэффициенты примут вид:

,

Окончательно решение задачи записывается в виде

при .


Курс лекций и задач по математике