Примеры решения задач по математике Уравнения эллиптического типа Скалярное произведение векторов Уравнение плоскости Системы линейных уравнений

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В учебном пособии приводятся способы нахождения точных решений различных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и методы приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Каждый раздел пособия содержит теоретическое  описание метода, образцы решения задач и набор задач для самостоятельного решения. Даются три типовых расчета: по методам решений дифференциальных уравнений с частными производными, а также по приближенным и вариационным методам. Теоретические выкладки снабжены практическими примерами. 

Тематика и содержание пособия отвечают требованиям образовательного стандарта второго поколения.

Книга окажет помощь в освоении указанных разделов высшей математики студентами, будет полезна также преподавателям в качестве пособия по методике чтения лекционного курса и ведения практических занятий. Достаточная краткость и сжатость сочетаются в ней с высоким уровнем строгости и полноты изложения материала. Дифференциальное исчесление функции одной переменной Понятие производной, ее геометрический и механический смысл Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x0 обозначим через x и назовем приращением аргумента, а разность f(x) – f(x0) обозначим через y и назовем приращением функции.

Уравнения гиперболического типа

Основные уравнения математической физики и краевые задачи для них

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных функции двух переменных вида

, (1)

где А, В, С – в общем случае функции переменных x и t из не­которой области G. Из уравнения (1) решение определяется неоднозначно. Для выделения единственного решения необхо­димо задать краевые условия, которые формулиру­ются в виде граничных и начальных условий. Краевые условия вместе с дифференциальным уравнением образуют краевую задачу.

Краевая задача называется корректно поставленной, если:

решение ее существует и единственно;

решение ее устойчиво по входным данным, т.е. малые изменения в начальных или граничных условиях приводят к малым изменениям в решении краевой задачи.

В зависимости от коэффициентов уравнения (1) ставятся различные краевые задачи. Рассмотрим величину D=B2–AC. Если D>0, то уравнение (1) называется уравнением гипербо­лического типа; если D=0, то параболического; если D<0, то эллиптического типа.

Простейшей формой (каноническим видом) уравнений раз­личного типа являются следующие уравнения:

– гиперболический тип;

– параболический тип;

– эллиптический тип.

Для каждого из уравнений поставим корректные краевые задачи и найдем их решения.

Рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д. приводит к уравнениям гиперболического типа. Простейшее из них имеет вид

.


Курс лекций и задач по математике