Примеры решения задач по математике Уравнения эллиптического типа Скалярное произведение векторов Уравнение плоскости Системы линейных уравнений

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Решить уравнение  для следующего начального распределения температуры стержня:

Решение. Стержень является бесконечным, поэтому решение запишется в виде интеграла Пуассона (40)

 .

Так как  в интервале (x1, x2) равна постоянной температуре U0, а вне интервала температура равна нулю, то решение примет вид .

Полученный результат можно преобразовать к интегралу вероятностей Типовой расчет Основные правила дифференцирования Курс высшей математики

.

Действительно, полагая , , получим .

Таким образом, решение записывается в виде

.

Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию  и краевому условию .

Решение. Здесь мы имеем дифференциальное уравнение теплопроводности для полубесконечного стержня. Решение, удовлетворяющее указанным условиям, имеет вид

 ,

или

 .

Полагая , , преобразуем первый интеграл, пользуясь интегралом вероятностей, т.е.

 .

Полагая , , получим

 .

Таким образом, решение принимает вид .

 

 

Задачи для самостоятельного решения

Дан тонкий однородный стержень длиной l, изолированный от внешнего пространства, начальная температура которого равна . Концы стержня поддерживаются при температуре, равной нулю. Определить температуру стержня в момент времени .

Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , . Концы поддерживаются при температурах: , .

Найти решение уравнения  с начальным условием

и граничными условиями , .

Найти температуру стержня в любой момент времени , если начальная температура , а концы стержня теплоизолированы.

Стержень длиной l, изолированный от внешнего пространства, нагрет до температуры . Определить температуру стержня в любой момент времени , если концы стержня теплоизолированы.

Стержень длиной  нагрет до температуры . Концы стержня поддерживаются при температурах , . Найти распределение температуры в стержне в любой момент времени .

Стержень длиной  нагрет до температуры

Концы стержня поддерживаются при температурах -10° и +20°. Найти распределение температуры в стержне в момент времени t = 5 от начала процесса остывания.

Найти решение уравнения теплопроводности, если левый конец  полубесконечного стержня теплоизолирован, а начальное распределение температуры


Курс лекций и задач по математике