Примеры решения задач по математике Уравнения эллиптического типа Скалярное произведение векторов Уравнение плоскости Системы линейных уравнений

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Найти решение уравнения , удовлетворяющее граничному условию

Основные методы интегрирования. Способ подстановки (замены переменных). Диффенцирование неявно заданной функции

Решение. Найдем решение в виде ряда (32), где коэффициенты примут вид:

,

Решение нашли в виде .

 

 

Задачи для самостоятельного решения

Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке радиусом R, если

.

Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке радиусом R=2, верхняя половина которой поддерживается при температуре 3°, а нижняя – при температуре  -3°.

Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке радиусом R=5, левая боковая половина которой поддерживается при температуре 1°, а правая – при -4°.

Найти решение уравнения Лапласа для внутренней части кольца , удовлетворяющее краевым условиям:

.

Найти решение уравнения Лапласа в круге, удовлетворяющее краевым условиям: .

Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластине радиусом R при условии

Найти решение уравнения Лапласа в круге, удовлетворяющее условиям: .

4. приближенное решение дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения, возникающие при решении инженерно-техничеких задач, в большинстве случаев решаются только приближенными или численными методами.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной

 . (1)

Общим решением такого уравнения является семейство функций , зависящее от произвольной постоянной. Чтобы иметь возможность вычислить значение функции в какой-либо точке x, необходимо выделить из этого семейства частное решение. Это делается с помощью задания начального условия вида

  . (2)

Нахождение решения, удовлетворяющего такому условию, называют задачей Коши.


Курс лекций и задач по математике