Примеры решения задач по математике Уравнения эллиптического типа Скалярное произведение векторов Уравнение плоскости Системы линейных уравнений

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка

Требуется найти решение системы уравнений

 

удовлетворяющее начальным условиям ,  при .

Требуется определить значения функций y и z при значениях аргумента x0, x1, … , xk, xk+1, … , xn. Используем рекуррентные формулы типа (18):

, (20)

. (21)

Чтобы вычислять по этим формулам, нам необходимо знать у1, у2, z1, z2, которые можно найти по формулам типа (9) и (10):

,

.

Для применения этих формул нужно знать , , , , , . Их мы найдем из уравнений (19), (19′) последовательным дифференцированием:

,

.

Дифференцируя еще раз, найдем , .

Зная у1, у2, z1, z2, находим из уравнений (19) и (19′) , , , , , , , , ,  и заполняем табл. 8:

Таблица 8

х

у

z

x0

y0

z0

x1

y1

z1

x2

y2

z2

x3

y3

z3

По формулам (20), (21) найдем у3, z3, а из уравнений (19), (19¢) найдем , . Вычислив , , , , снова по формулам (20), (21) найдем у4, z4 и т.д.

Пример. Найти приближенные значения решений системы

Вычислить значения решений при х = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Решение. Из условий находим .

Дифференцируя данные уравнения, найдем:

,

.

По формулам (20), (21) находим:

,

,

,

.

Теперь находим:

= 1,0050, = 0,1002,

= 1,0200, = 0,2013,

= 0,0050, = 0,1002,

= 0,0150, = 0,1011,

= 0,0100, = 0,0009

и заполняем табл. 9.

Далее по формулам (20) и (21) находим:

,

и аналогично

,

.

Заметим, что точным решением системы являются функции , .

Поэтому ; .


Курс лекций и задач по математике