Примеры решения задач по математике Уравнения эллиптического типа Скалярное произведение векторов Уравнение плоскости Системы линейных уравнений

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Задачи для самостоятельного решения

Найти приближенные значения  и  решений системы уравнений

удовлетворяющих начальным условиям ,  при .

Найти приближенные значения  и  решений системы уравнений



 

 

Метод сеток численного решения  дифференциальных уравнений с частными производными

Метод сеток, или метод конечных разностей, является одним из самых распространенных в настоящее время методов численного решения уравнений с частными производными. В его основе лежит идея замены производных конечно-разностными отношениями.

Пусть в плоскости ХОУ имеется некоторая область G с границей Г. Построим на плоскости два семейства параллельных прямых:

, i = 0, ±1, ±2, … ;

, k = 0, ±1, ±2, … .

Точки пересечения этих прямых назовем узлами. Два узла называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси Ох или Оу на расстояние, равное шагу сетки соответственно. Выделим узлы, принадлежащие области G и границе Г, а также некоторые узлы, не принадлежащие этой области, но расположенные на расстоянии, меньшем, чем шаг от границы Г. Узлы, у которых четыре соседних узла принадлежат выделенному множеству узлов, называются внутренними (узел А, рис. 8). Оставшиеся из выделенных узлов называются граничными. Значения искомой функции  в узлах сетки будем обозначать . В каждом внутреннем узле  заменим частные производные разностными отношениями:

, (22)

а в граничных точках

. (23)

Аналогично заменяются частные производные второго порядка.

Решение задачи Дирихле в прямоугольнике для уравнения Лапласа методом сеток

Постановка задачи

Требуется найти с точностью ε приближенное решение уравнения Лапласа

 , (24)

где  определена внутри прямоугольника G:

,

если на границе Г области

 

известны граничные условия:

. (25)

Построение сетки

Отрезок  разделим на М равных частей с шагом hx, отрезок  – на N равных частей с шагом hy:

.

Точки деления обозначим: , i=0, 1, 2, … , М, , j=0, … , N. Проведем прямые  и , параллельные осям координат. Совокупность всех узлов образует сетку  (рис. 9).

Узлы , ;  являются внутренними, а узлы  при  и ,  и при  и ,  – граничными. Вершины прямоугольника – точки (0, 0), (0, N), (M, 0), (M, N) – угловые узлы.

Сеточная задача

Вместо непрерывной функции  будем рассматривать ее определенные значения в узлах сетки – сеточную функцию , i=0, 1, … , М, j=0, 1, … , N. Во внутренних узлах сетки введем сеточные аналоги производных:

,

.

Тогда уравнение Лапласа (24) будет иметь сеточный аналог в виде

  (26)

для внутренних узлов .

Граничные условия (25) на сетке примут вид

 (27)

для граничных узлов ,  и , ,

  и , ,

где .

Для угловых точек пересчитаем значения сеточной функции, взяв среднее арифметическое двух значений, полученных при движении к вершине по вертикальной и горизонтальной границе.


Курс лекций и задач по математике