Примеры решения задач по математике Уравнения эллиптического типа Скалярное произведение векторов Уравнение плоскости Системы линейных уравнений

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Задача Коши

Найти решение уравнения (2) для бесконечной области  удовлетворяющее в области  начальным условиям (3), (4). Граничные условия отсутствуют.

Кроме того, могут быть поставлены смешанные краевые задачи, когда на разных концах заданы различные граничные условия или когда струна полубесконечная (только на одном конце задано граничное условие).

1.3. Решение задачи Коши. Формула Даламбера

Будем решать однородное волновое уравнение Градиент. Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке ,

 (7)

для бесконечной струны, , , при начальных условиях (3), (4).

Введем новые переменные:

. (8)

Уравнение (7) с помощью замены (8) приводится к виду

. (9)

Общее решение уравнения (9) можно записать в виде

,

где Y1, Y2 – произвольные функции одной переменной, определим их из начальных условий. Переходя к прежним переменным, найдем

. (10)

При t=0 из начального условия (3) имеем

. (11)

Определим производную по t для решения (10):

и воспользуемся начальным условием (4):

. (12)

Выражение (12) проинтегрируем по x в пределах от 0 до x:

, (13)

где – постоянная величина.

Складывая и вычитая почленно (11) и (13), получим:

, (14)

. (15)

Выражения для Y1 и Y2 из (14) и (15) запишем для любого , вспоминая, что ,  , и подставим в искомое решение (10):

 

.

Преобразуем последнее выражение и получим формулу Даламбера 

, (16) 

где .

Итак, решение задачи Коши для волнового уравнения (7) выписывается в виде формулы (16).


Курс лекций и задач по математике