Примеры решения задач по математике Уравнения эллиптического типа Скалярное произведение векторов Уравнение плоскости Системы линейных уравнений

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Уравнение плоскости

Пусть в декартовой системе координат имеется некоторая плоскость, проходящая через точку , ее радиус-вектор будет иметь координаты . Зададим на этой же плоскости точку  с радиус-вектором . Очевидно, что вектор  также будет находиться в заданной плоскости (Рис. 2.6).

Рис. 2.6. Вектор  на плоскости Практикум по теме «Двойной интеграл»

Проведем перпендикуляр к плоскости . Скалярное произведение вектора  с эти перпендикуляром будет равно 0: , или, в координатах:

.

( 2.1 )

Преобразуем данное уравнение: раскроем скобки и сгруппируем известные координаты: , обозначив , получим уравнение плоскости в общей форме:

,

( 2.2 )

где  – координаты любой точки на плоскости;  – координаты фиксированной точки на плоскости;  – координаты нормали к плоскости. Если все коэффициенты общего уравнения не равны нулю, то уравнение ( 2.2 ) можно привести к виду:

.

( 2.3 )

Уравнение плоскости в данном виде называется уравнением плоскости в отрезках; в уравнении приняты обозначения: , , ; отрезки  отсекаются плоскостью на осях координат.

Итак, плоскость в пространстве, как и прямая на плоскости, задается уравнением первой степени относительно координат. Поэтому говорят, что плоскость есть поверхность первого порядка.

Расстояние от точки  до поверхности, заданной формулой ( 2.3 ) определяется по формуле:

,

( 2.4 )

Двугранный угол между плоскостями  и  совпадает с углом между их нормалями и вычисляется по формуле:

,

( 2.5 )

Для ортогональных плоскостей будет справедливо утверждение:  или в координатной форме: .

Для параллельных плоскостей выполняется условие пропорциональности координат нормалей: . В частности, если, кроме того, выполняется условие , то плоскости совпадают.

Рассмотрим частные случаи расположения плоскости в декартовой системе координат.

1. : нормаль к плоскости параллельна оси . Поскольку  для нормали  имеем  и уравнение ( 2.5 ) принимает вид: . В этом случае плоскость параллельна координатной оси .

2. : проводя аналогичные рассуждения, получаем: , плоскость параллельная оси .

3. : , плоскость параллельная оси .

4. : вектор нормали лежит в плоскости , следовательно, плоскость параллельна оси . В этом случае , так как .

5. , параллельна оси .

6. , параллельна оси .

7. : это возможно лишь в случае, когда плоскость проходит через начало координат. При этом  и плоскость задается уравнением , которому удовлетворяет точка .


Курс лекций и задач по математике