Примеры решения задач по математике Уравнения эллиптического типа Скалярное произведение векторов Уравнение плоскости Системы линейных уравнений

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Метод Фурье для решения второй краевой задачи

Уравнение (7) будем решать с начальными условиями (3), (4) и граничными (5). Общее решение уравнения (7) имеет вид (23). Постоянные коэффициенты l, С1, С2, С3, С4 определим, используя начальные и граничные условия второй краевой за­дачи.

Найдем производную по x для решения (23):

. (31) Дифференциальные уравнения Задача . Найти общее решение дифференциального уравнения .

Из первого граничного условия при имеем

, которое будет выпол­няться для всех , если  или .

Но при будем иметь тривиальное решение; следова­тельно, . Тогда решение (23) примет вид:

. (32)

При  имеем второе граничное условие:

, которое вы­полняется при , если . При будем иметь тривиальное решение, т.к. . Следовательно, , т.е.  n = 0, ±1, … Итак, решение (32) для каждого n примет вид . Сум­мируя по всем n, вновь получим решение уравнения (7), удов­летворяющее условиям (6):

, (33)

где ,  подлежат определению из начальных условий. При  имеем:

  (34)

и . (35)

Соотношения (34) и (35) будем рассматривать как разложение в ряд Фурье четных на  периодических функций  и  с коэффициентами разложения и  соответственно. Из теории рядов Фурье известен вид коэффициентов:

,

, n = 1, 2, … (36)

и

, n = 1, 2, …

или . (37)

Итак, решение второй краевой задачи для волнового уравнения (7) представлено в виде ряда (33) с коэффициентами (36) и (37).

 

 

Примеры решения задач

Найти решение задачи Коши , если  .

Решение. Решение ищем в виде формулы Даламбера (16):

, , .

В нашем случае: . Поэтому

.

Ответ: .

Найти форму струны, определяемой уравнением  в момент времени , если в начальный момент заданы условия: ,  (задача Коши).

Решение. Подставляем исходные данные в формулу Даламбера (16):

При  решение примет вид , т.е. струна параллельна оси абсцисс.

Струна, закрепленная на концах ,, имеет в начальный момент времени форму параболы  (рис. 3). Определить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют. (Первая краевая задача).

Решение. Решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: ,  и граничным условиям: , , будем искать в виде (26):  с коэффициентами (28), (30):

, , n = 1, 2, … .

Для нашего случая при  и  имеем

, , n = 1, 2, … .

Интеграл вычисляем по частям:

 Þ

 Þ ,

Вновь применяем метод интегрирования по частям:

Þ , Þ .

Окончательно имеем

Тогда решение задачи примет следующий вид:

.


Курс лекций и задач по математике