Примеры решения задач по математике Уравнения эллиптического типа Скалярное произведение векторов Уравнение плоскости Системы линейных уравнений

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Уравнения параболического типа

 Простейшим представителем уравнения этого типа является уравнение теплопроводности

,

где функция  описывает распространение тепла в стержне  длиной l в момент времени ; а2 – коэффициент теплопроводности (при стержень однородный); – функция источников тепла. Если источники отсутствуют, то уравнение принимает вид

.

2.1. Уравнение теплопроводности Непрерывность функции в точке Курс лекций по математике

 для нестационарного случая

  Обозначим через  температуру в точке М однородного тела, ограниченного поверхностью S в момент времени t. Известно, что количество теплоты , поглощаемой телом за время , выражается равенством

, (1)

где  – элемент поверхности, k – так называемый коэффициент внутренней теплопроводности,  – производная функции U по направлению внешней нормали к поверхности S.

Так как теплота распространяется в направлении понижения температуры, то , если , и , если .

 Из равенства (1) следует, что .

 Вычислим Q другим способом. Выделим элемент  объема V, ограниченного поверхностью S. Количество теплоты , получаемой элементом  за время , пропорционально повышению температуры в этом элементе и массе самого элемента, т.е.

, (2)

где  – плотность вещества,  – коэффициент пропорциональности, называемый теплоемкостью вещества. Из равенства (2) следует, что .

Таким образом, получаем , где . Учитывая, что  и , преобразуем полученное равенство к виду

.

Заменив правую часть с помощью формулы Остроградского-Гаусса, имеем

,

или ,

для любого объема V. Отсюда получаем дифференциальное уравнение

,

называемое уравнением теплопроводности для нестационарного случая.

 Если тело является стержнем, направленным по оси Ox, то уравнение теплопроводности имеет вид

. (3)

 Для уравнения (3) можно поставить следующие краевые задачи:

Первая краевая задача

Найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию

; (4)

в начальный момент времени  задано распределение температуры по всей длине стержня ;

и граничным условиям:

; (5)

на концах стержня  и  в любой момент времени  известна температура U1 и U2.

Вторая краевая задача

Найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию (4) и граничным условиям:

, ; (6)

концы стержня  и  теплоизолированы.

Смешанная краевая задача

Найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию (4) и граничным условиям:

;

на концах  и  задан теплообмен со средой, h – коэффициент теплообмена, – температура среды.

Задача Коши

Найти решение уравнения (3) для бесконечного стержня, если известно начальное распределение температуры:

, граничные условия отсутствуют.

 Можно рассматривать полубесконечный стержень . Тогда на конце  задается граничное условие (задача с одним граничным условием). Возможно ставить краевую задачу с условиями (5) и (6) на разных концах (на одном конце задана температура, другой конец теплоизолирован).


Курс лекций и задач по математике