Примеры решения задач по математике Уравнения эллиптического типа Скалярное произведение векторов Уравнение плоскости Системы линейных уравнений

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Решение первой краевой задачи методом Фурье

  Краевую задачу (3), (4), (5) будем решать методом разделения переменных (метод Фурье), представляя искомое решение в виде произведения двух функций

. (7)

 Вместо граничных условий (5) рассмотрим вначале нулевые граничные условия: Интегралы Задача. Вычислить .

. (8)

Предполагаемое решение (7) подставим в уравнение (3), получим  Или, разделяя переменные:

, (9)

где постоянная  пока не определена. Получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения с постоянными коэффициентами:

, (10)

. (11)

Общее решение уравнения (10) имеет вид

, , (12)

где С1 – постоянная интегрирования.

Решение уравнения (11) имеет вид

. (13)

Тогда решение (7) с учетом (12) и (13) примет вид

. (14)

Неизвестные постоянные l, С1, С2, С3 определим из краевых условий (4), (8). Из условия (8) имеем:

. (15)

Из равенства (15), справедливого при любом , следует: . Второе равенство будет выполняться при  для любого . Предположим, что , иначе получим тривиальное решение . Тогда , отсюда , где n = 1, 2, … .

 Итак, получили решение (7) в виде

 для каждого n = 1, 2, … .

Суммируя по всем n, вновь получим решение уравнения (3):

 , (16)

где . Коэффициенты Сn для каждого n определим из начального условия (4):

 . (17)

Рассматривая (17) как разложение в ряд Фурье нечетной на  периодической функции , найдем коэффициенты разложения в виде

 , n = 1, 2, … . (18)

 Итак, решение первой краевой задачи с нулевыми граничными условиями (8) нашли в виде ряда (16) с коэффициентами (18).

 Найдем решение первой краевой задачи с ненулевыми граничными условиями, т.е. решение задачи (3), (4), (5).

 Представим искомое решение в виде суммы двух функций

, (19)

где  удовлетворяет уравнению (3), начальному условию (4) и нулевым граничным условиям: , , а функция , называемая стационарной температурой, удовлетворяет уравнению

 (20)

и ненулевым граничным условиям (5): .

Общее решение уравнения (20) имеет вид

,

где a и b – постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий (4): .

Отсюда: .

Тогда решение уравнения (20) с условиями (4) запишется в виде

, , (21)

а решение первой краевой задачи (3), (4), (5) примет вид

 , (22)

где  имеют вид (18).


Курс лекций и задач по математике