Примеры решения задач по математике Уравнения эллиптического типа Скалярное произведение векторов Уравнение плоскости Системы линейных уравнений

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Уравнения эллиптического типа

Решить уравнение  для следующего начального распределения температуры стержня

Потенциальное течение жидкости или газа. Уравнение неразрывности

Потенциал стационарного электрического тока Пусть в однородной среде, заполняющей некоторый объем V, проходит электрический ток, плотность которого в каждой точке дается вектором . Предположим, что плотность тока не зависит от времени t. Предположим далее, что в рассматриваемом объеме нет источников тока.

Задача Дирихле для круга

Найти стационарное распределение температуры на тонкой однородной круглой пластине радиусом R, верхняя половина которой поддерживается при температуре 1°, а нижняя – при температуре 0°.

Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке радиусом R

Одним из аналитических методов приближенного решения дифференциальных уравнений является метод Пикара.

Построить последовательность пикаровских приближений решения дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Геометрический смысл метода Эйлера

Оценка погрешности и точность вычислений Оценить остаточный член метода Рунге-Кутта очень сложно, следует только отметить, что если  непрерывна и ограничена со своими производными до четвертого порядка и эти производные не очень велики, то с уменьшением шага сетки приближенное решение сходится к точному равномерно и остаточный член примерно равен .

Методом Эйлера найти три значения функции y, определяемой уравнением , при начальном условии , полагая  .

Пример. Найти приближенные значения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию  при . Значения решения определить при х = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка

Найти приближенные значения  и  решений системы уравнений

Метод итераций

Пример. Методом сеток найти решения задачи

Метод прогонки для уравнения теплопроводности

Решение уравнения движения грунта Пусть одномерное перемещение частиц пластически сжимаемого грунта происходит параллельно оси x

В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты, как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.

Каноническая форма уравнения эллиптического типа имеет вид

 , (1)

где  – дважды дифференцируемая функция двух независимых переменных x и y.

Уравнение (1) описывает двумерные стационарные процессы, например, проводимость тепла в пластине, процессы диффузии, фильтрации, распространение электро­магнитных волн. Введем в рассмотрение лапласиан  (для плоскости),  (для пространства).

Наиболее простыми представителями уравнений эллиптического типа являются уравнение Лапласа Задачи приводящие к понятию определенного интеграла Типовой расчет по высшей математике Интегрирование

  (2)

и уравнение Пуассона

 . (3)

Для единственного решения уравнения (1) в замкнутой плоской области  с непрерывной границей Г ставятся следующие краевые задачи.

Задача Дирихле

В области D найти непрерывную, дважды дифферен­цируемую функцию, удовлетворяющую уравнению (1) и следующему граничному условию:

, (4)

на границе области известны значения искомой функции.

Задача Неймана

Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее следующему граничному условию:

 , (5)

на границе области известна производная искомой функ­ции по нормали.  – внешняя нормаль к границе Г в точке (x, у).

Смешанная задача

Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условию

 , (6)

где  – внешняя нормаль к границе области.

 3.1. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа

В этом параграфе будут рассмотрены некоторые задачи, приводящие к решению уравнения Лапласа (2):

.

Функции U, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называ­ются гармоническими функциями.

Стационарное (установившееся ) распределение  температуры в однородном теле

Пусть имеется однородное тело, ограниченное поверхностью Г. Температура в различных точках тела удовлетворяет уравне­нию

 

Если процесс установившийся, т.е. если температура не зави­сит от времени, а зависит только от координат точек тела, то  и, следовательно, температура удовлетворяет уравне­нию Лапласа (2)

.

Чтобы температура в теле определялась однозначно из этого уравнения, нужно знать, например, температуру на поверхности Г:

.

Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей.

Если на поверхности тела температура неизвестна, а извес­тен тепловой поток в каждой точке поверхности, который про­порционален , то на поверхности Г вместо краевого усло­вия (4) будем иметь условие (5):

.

Задача нахождения решения уравнения (2), удовлетворяющего краевому условию (5), называется задачей Неймана или вто­рой краевой задачей.


Курс лекций и задач по математике