Скалярное произведение векторов
Определители 2-го и 3-го порядка Таблица, составленная из четырех элементов, выстроенных в два ряда и два столбца:
, называется квадратной матрицей второго порядка.
Пример. Вычислить координаты вектора
, если известны декартовы координаты:
и
.
Задача Найти
, если
и
, где
,
, угол
. Решение: Для решения необходимо знать длину векторов, что нам неизвестно, но даны данные по базису, поэтому перейдем от исходных векторов к базисным, подставим в формулу
выражения разложения векторов по базису:
Элементы линейной алгебры Определители второго порядка
В учебном пособии приводятся способы нахождения точных решений различных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и методы приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Каждый раздел пособия содержит теоретическое описание метода, образцы решения задач и набор задач для самостоятельного решения. Даются три типовых расчета: по методам решений дифференциальных уравнений с частными производными, а также по приближенным и вариационным методам. Теоретические выкладки снабжены практическими примерами.
Вычислить площадь параллелограмма, две стороны которого образованы векторами
,
,
.
Аналитическая геометрия Уравнение линии Рассмотрим декартовую систему координат на плоскости.
Примеры решения типовых задач: прямая на плоскости Задача Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (1,2) и (-2,3).
Уравнение плоскости Пусть в декартовой системе координат имеется некоторая плоскость, проходящая через точку
, ее радиус-вектор будет иметь координаты
. Зададим на этой же плоскости точку
с радиус-вектором
. Очевидно, что вектор
также будет находиться в заданной плоскости
Определение 1.10. Углом между двумя векторами называется часть плоскости между их лучами, если вектора приложить к одной точке (Рис. 1.5). Угол между векторами обозначается как
или строчными греческими буквами (например,
) .
Рис. 1.5. Угол между двумя векторами
Как известно из школьного курса, осью называется направленная прямая. Как правило, ось определяется единичным вектором, имеющим общее с ней направление и задающим положительную направленность оси. Чтобы получить проекцию точки, требуется опустить на ось перпендикуляр из этой точки. Задача 7. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется: представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части; проверить, является ли функция w аналитической;
Определение 1.11. Проекцией вектора
на ось (или вектор)
называется вектор, началом которого служит проекция начала вектора
, а концом – проекция конца вектора
на ось (или вектор
) (Рис. 1.6).
Обозначается проекция как
, на Рис. 1.6:
.
Рис. 1.6. Проекция вектора
на ось
Приведем свойства проекции:
1)
, где
;
2)
, где
и
- любые числа;
3) равные вектора имеют равные проекции.
Определение 1.12. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению их длин и косинуса угла между ними; обозначают скалярное произведение как
:
, где
.
Следующие свойства скалярного произведения векторов вытекают прямо из определения:
1)
;
2)
, где
- любое число;
3)
;
4) если
, то
, где
и
- любые числа;
5)
тогда и только тогда, когда векторы
и
перпендикулярны или один из них равен нулю;
6)
;
7) для декартовой системы координат справедливо следующее свойство: если
и
, то
.
Введем для определенности обозначения: пусть координаты векторов
и
. С помощью скалярного произведения решаются следующие задачи:
1. определение длины вектора:
а) для декартового базиса:
;
б) для любого базиса:
.
2. определение расстояния между точками
и
:
по вышеприведенным формулам (в зависимости от базиса).
3. определение проекции одного вектора на направление другого:
4. определение косинуса угла между векторами:
5. определение для декартового базиса косинусов углов, образуемых вектором с осями координат:
;
;
,
где
– угол вектора с осью
,
– угол вектора с осью
,
– угол вектора с осью
.
Пример 1.4. Найти
, если
,
,
.
Решение: 1) По определению скалярного произведения имеем:
, где
; 2) подставим исходные данные в формулу:
.
Ответ:
.
Пример 1.5. Найти
, если известны его координаты в декартовой системе координат:
.
Решение: Для нахождения длины вектора в декартовых координатах применим формулу:
. Подставим исходные данные:
.
Ответ:
.