Примеры решения задач по математике Уравнения эллиптического типа Скалярное произведение векторов Уравнение плоскости Системы линейных уравнений

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Скалярное произведение векторов

Базис и разложение векторов

Определители 2-го и 3-го порядка Таблица, составленная из четырех элементов, выстроенных в два ряда и два столбца: , называется квадратной матрицей второго порядка.

Пример. Вычислить координаты вектора , если известны декартовы координаты:   и .

Задача Найти , если  и , где , , угол . Решение: Для решения необходимо знать длину векторов, что нам неизвестно, но даны данные по базису, поэтому перейдем от исходных векторов к базисным, подставим в формулу  выражения разложения векторов по базису:

Элементы линейной алгебры Определители второго порядка

В учебном пособии приводятся способы нахождения точных решений различных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и методы приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Каждый раздел пособия содержит теоретическое описание метода, образцы решения задач и набор задач для самостоятельного решения. Даются три типовых расчета: по методам решений дифференциальных уравнений с частными производными, а также по приближенным и вариационным методам. Теоретические выкладки снабжены практическими примерами. 

Вычислить площадь параллелограмма, две стороны которого образованы векторами , , .

Аналитическая геометрия Уравнение линии Рассмотрим декартовую систему координат на плоскости.

Примеры решения типовых задач: прямая на плоскости Задача Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (1,2) и (-2,3).

Уравнение плоскости Пусть в декартовой системе координат имеется некоторая плоскость, проходящая через точку , ее радиус-вектор будет иметь координаты . Зададим на этой же плоскости точку  с радиус-вектором . Очевидно, что вектор  также будет находиться в заданной плоскости

Определение 1.10. Углом между двумя векторами называется часть плоскости между их лучами, если вектора приложить к одной точке (Рис. 1.5). Угол между векторами обозначается как  или строчными греческими буквами (например, ) .

Рис. 1.5. Угол между двумя векторами

Как известно из школьного курса, осью называется направленная прямая. Как правило, ось определяется единичным вектором, имеющим общее с ней направление и задающим положительную направленность оси. Чтобы получить проекцию точки, требуется опустить на ось перпендикуляр из этой точки. Задача 7. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется: представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части; проверить, является ли функция w аналитической;

Определение 1.11. Проекцией вектора  на ось (или вектор)  называется вектор, началом которого служит проекция начала вектора , а концом – проекция конца вектора  на ось (или вектор ) (Рис. 1.6).

Обозначается проекция как , на Рис. 1.6: .

Рис. 1.6. Проекция вектора  на ось

Приведем свойства проекции:

1) , где ;

2) , где  и  - любые числа;

3) равные вектора имеют равные проекции.

Определение 1.12. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению их длин и косинуса угла между ними; обозначают скалярное произведение как : , где .

Следующие свойства скалярного произведения векторов вытекают прямо из определения:

1) ;

2) , где  - любое число;

3) ;

4) если , то , где  и  - любые числа;

5) тогда и только тогда, когда векторы  и  перпендикулярны или один из них равен нулю;

6) ;

7) для декартовой системы координат справедливо следующее свойство: если  и , то

.

Введем для определенности обозначения: пусть координаты векторов   и . С помощью скалярного произведения решаются следующие задачи:

1. определение длины вектора:

а) для декартового базиса: ;

б) для любого базиса: .

2. определение расстояния между точками  и :

  по вышеприведенным формулам (в зависимости от базиса).

3. определение проекции одного вектора на направление другого:

4. определение косинуса угла между векторами:

5. определение для декартового базиса косинусов углов, образуемых вектором с осями координат:

,

 где  – угол вектора с осью ,  – угол вектора с осью ,  – угол вектора с осью .

Пример 1.4. Найти , если , , .

Решение: 1) По определению скалярного произведения имеем: , где ; 2) подставим исходные данные в формулу:

.

Ответ: .

Пример 1.5. Найти , если известны его координаты в декартовой системе координат: .

Решение: Для нахождения длины вектора в декартовых координатах применим формулу: . Подставим исходные данные:

.

Ответ: .


Курс лекций и задач по математике