Скалярное произведение векторов
Определители
2-го и 3-го порядка Таблица, составленная из четырех элементов, выстроенных
в два ряда и два столбца: 
, называется квадратной матрицей второго порядка.
Пример.
Вычислить координаты вектора 
, если известны декартовы координаты: 
и 
.
Задача Найти 
, если 
и 
, где 
, 
, угол 
. Решение: Для
решения необходимо знать длину векторов, что нам неизвестно, но даны данные
по базису, поэтому перейдем от исходных векторов к базисным, подставим в формулу
выражения разложения векторов по базису:
Элементы линейной алгебры Определители второго порядка
В учебном пособии приводятся способы нахождения точных решений различных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и методы приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Каждый раздел пособия содержит теоретическое описание метода, образцы решения задач и набор задач для самостоятельного решения. Даются три типовых расчета: по методам решений дифференциальных уравнений с частными производными, а также по приближенным и вариационным методам. Теоретические выкладки снабжены практическими примерами.
Вычислить площадь параллелограмма,
две стороны которого образованы векторами 
,
, 
.
Аналитическая геометрия Уравнение линии Рассмотрим декартовую систему координат на плоскости.
Примеры решения типовых задач: прямая на плоскости Задача Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (1,2) и (-2,3).
Уравнение
плоскости Пусть в декартовой системе координат имеется некоторая плоскость,
проходящая через точку 
, ее радиус-вектор будет иметь координаты 
. Зададим на этой же плоскости точку
с радиус-вектором 
.
Очевидно, что вектор 
также будет
находиться в заданной плоскости
Определение 1.10. Углом между двумя векторами
называется часть плоскости между их лучами, если вектора приложить к одной точке
(Рис. 1.5). Угол между векторами обозначается как 
или строчными греческими буквами (например, 
)
.
Рис. 1.5. Угол между двумя векторами
Как известно из школьного курса, осью называется направленная прямая. Как правило, ось определяется единичным вектором, имеющим общее с ней направление и задающим положительную направленность оси. Чтобы получить проекцию точки, требуется опустить на ось перпендикуляр из этой точки. Задача 7. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется: представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части; проверить, является ли функция w аналитической;
Определение
1.11. Проекцией вектора 
на ось (или вектор) 
называется вектор, началом которого служит
проекция начала вектора , а концом – проекция конца вектора на ось (или вектор ) (Рис. 1.6).
Обозначается проекция
как 
, на Рис. 1.6: 
.
Рис.
1.6. Проекция вектора на ось
Приведем свойства проекции:
1) 
, где 
;
2) 
, где 
и 
- любые числа;
3) равные вектора имеют равные проекции.
Определение 1.12. Скалярным произведением векторов называется
число (скаляр), равное произведению их длин и косинуса угла между ними; обозначают
скалярное произведение как : 
, где .
Следующие свойства скалярного произведения векторов вытекают прямо из определения:
1) 
;
2) 
, где - любое число;
3) 
;
4) если 
, то 
, где и - любые числа;
5)
тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны или один из них равен нулю;
6)
;
7) для декартовой системы координат справедливо
следующее свойство: если 
и 
, то
.
Введем
для определенности обозначения: пусть координаты векторов 
и 
. С помощью скалярного произведения решаются
следующие задачи:
1. определение длины вектора:
а) для декартового
базиса: 
;
б) для любого базиса: 
.
2. определение расстояния между точками 
и 
:
по вышеприведенным формулам (в зависимости от базиса).
3. определение проекции одного вектора на направление другого:
4. определение косинуса угла между векторами:
5. определение для декартового базиса косинусов углов, образуемых вектором с осями координат:
; 
;
,
где 
– угол вектора с осью 
, 
– угол вектора с осью 
, 
– угол вектора с осью 
.
Пример 1.4. Найти , если 
, 
, 
.
Решение: 1) По определению скалярного произведения
имеем: , где ; 2) подставим исходные данные в формулу:
.
Ответ: 
.
Пример 1.5. Найти 
, если известны его координаты в декартовой системе координат:
.
Решение: Для нахождения
длины вектора в декартовых координатах применим формулу: . Подставим исходные данные:
.
Ответ: 
.