Примеры решения задач по математике Уравнения эллиптического типа Скалярное произведение векторов Уравнение плоскости Системы линейных уравнений

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Примеры решения типовых задач: уравнение плоскости

Прямая в пространстве образуется пересечением двух плоскостей (если их нормали не параллельны), таким образом, прямую в пространстве можно задать системой уравнений

Кривые второго порядка

Примеры решения типовых задач: кривые второго порядка Задача Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением .

Контрольная работа При выполнении контрольных заданий обязательно указывать название темы и номер задания, даже если задание не выполнено.

Пример выполнения контрольной работы Задание. Определить скалярное произведение  векторов, если , , , , .

Линейная алгебра В данном разделе рассматриваются такие объекты, как матрицы и действия над ними, а также определители, которые затем используются для решения систем линейных уравнений.

Пример . Найти сумму матриц  и , где , .

Пример. Вычислить определитель матрицы 2-го порядка: .

Пример . Вычислить определитель из предыдущего примера Решение: Задача состоит в том, чтобы получить как можно больше нулей в какой-нибудь из строк или столбцов, и, затем разложить по этой строке (столбцу) определитель. Получим нуль в первой строке в первом столбце. Для этого умножим элементы четвертого столбца на (-1) и сложим с элементами первого столбца, при этом определитель не изменится

Ранг матрицы

Примеры решения типовых задач: матрицы

Решение систем линейных уравнений Определители используются при решении систем линейных уравнений. Произвольная система линейных уравнений имеет вид:

Матричный метод Пусть дано матричное уравнение: , где  и  - заданные матрицы, причем матрица  – невырожденная. Требуется найти матрицу .

Произвольная система линейных уравнений

Задача 2.6

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно плоскости .

Решение: 1) По условию, плоскость должна быть параллельна плоскости , а это значит, ее уравнение принимает вид: , где . 2) Нормаль этой плоскости должна быть , где , откуда , следовательно, общее уравнение принимает вид: , или  (по условию ). Ответ: .

Задача 2.7

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно плоскости .

Решение: 1) У параллельных плоскостей – общая нормаль, следовательно, для искомой плоскости нормаль . 2) По формуле ( 2.1 ) получаем: , или .

Ответ: .

Задача 2.8

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно векторам  и .

Решение: 1) Для решения необходимо знать координаты точки, принадлежащей искомой плоскости и нормаль к ней. Точка  – известна, осталось найти нормаль. 2) Так как по условию, искомая плоскость должна быть параллельна векторам, то ее нормаль должна быть к ним перпендикулярна:  и . 3) По свойству векторного произведения: если , то  и , значит в нашем случае, нормаль к исходным векторам есть их векторное произведение: , откуда координаты нормали: . 4) Подставляем найденные координаты и координаты фиксированной точки в уравнение ( 2.1 ), находим общее уравнение: . После преобразования получим Ответ: .

Задача 2.9

Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами , , .

Решение: 1) Проведем к точкам соответствующие радиус-векторы: ,  и . 2) Очевидно, что вектора  и  будут лежать в одной плоскости и задача сводится к задаче, приведенной в предыдущем примере. 3) Координаты векторов:

 

Найдем координаты нормали:

Подставляем найденные координаты и координаты фиксированной точки   в уравнение ( 2.1 ), находим общее уравнение:

. Ответ: .

Задача 2.10

Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки ,  перпендикулярно плоскости .

Решение: 1) Для определенности положим, что  – фиксированная точка, радиус-вектор которой ;  – точка, с помощью которой строим вектор , лежащий в искомой плоскости. Его координаты: . 2) Нормаль  плоскости  имеет координаты , что следует из вида общего уравнения плоскости ( 2.2 ). 3) Нормаль искомой плоскости перпендикулярна вектору  и нормали плоскости , то есть является их векторным произведением: . Откуда:

, или .

4) Подставим в общее уравнение плоскости ( 2.2 ) найденные значения координат нормали и фиксированной точки: .

Ответ: .

Задача 2.11

Записать уравнение плоскости, проходящей через точки ,  и образующей с плоскостью  угол равный .

Решение: 1) Для определенности положим, что  – фиксированная точка, радиус-вектор которой ;  – точка, с помощью которой строим вектор , лежащий в искомой плоскости. Его координаты: .

2) Так как нормаль  искомой плоскости перпендикулярна этому вектору , то . Скалярное произведение в декартовой системе координат определяется по формуле: , откуда получаем уравнение

3) Нормаль  плоскости  имеет координаты . Подставим известные значения в формулу ( 2.4 ):

,

или .

Итак, имеем систему из двух уравнений относительно трех неизвестных: .

Уменьшим число неизвестных, для чего разделим обе части на :

,

Подставим выражение из первого уравнения во второе, получим:

, откуда .

Получили пропорцию коэффициентов нормали: , откуда в качестве координат нормали возьмем .

Уравнение плоскости запишется в виде:

. Ответ: .


Курс лекций и задач по математике