Лабораторные работы по электронике и электротехнике Математика контрольная Уравнения эллиптического типа Скалярное произведение векторов Уравнение плоскости Системы линейных уравнений Математический анализ

Выполнение контрольной по математике

Теория линейных ДУ

Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) называется уравнение вида, (4)

линейное по неизвестной функции и всем ее производным, функции   и  заданы на общем интервале .

Если на   , то, поделив на  обе части ДУ (4), получим ЛДУ в приведенном виде

. (5)

Обозначим через  дифференциальный оператор , тогда ДУ (5)
запишется в операторной форме .

При   на  имеем  – однородное ЛДУ
(ОЛДУ), при   на  –  – неоднородное ЛДУ (НЛДУ) -го порядка.

Впредь будем различать ОЛДУ с переменными коэффициентами и ОЛДУ с постоянными коэффициентами (ОЛДУ п/к) в зависимости от того, являются ли коэффициенты   постоянными функциями на . Свойства решений ЛДУ (5) известны (см. [2]).

Прежде всего согласно теореме существования единственного решения задачи Коши для ДУ -го порядка можно утверждать, что для любых НУ:  где  и  – произвольный вектор, найдется окрестность , , на которой существует единственное решение соответствующей задачи Коши для НЛДУ; доказано [4, с. 274], что это решение продолжаемо на . Здесь  – общий интервал непрерывности всех коэффициентов и правой части НЛДУ (5). Для ОЛДУ п/к, очевидно, решение  задачи Коши существует на  и притом единственное.

Свойства решений ОЛДУ  устанавливаются следующими утверждениями.

Пусть  – множество всех решений ,  ОЛДУ , т.е. , каждая функция   раз дифференцируема на , причем каждая из производных решения непрерывна на .

Утверждение 1. Множество  – линейное пространство.

В самом деле, сумма двух произвольных решений ОЛДУ является решением этого ДУ, так как

.

Поэтому ,   .

Умножение всякого решения на число приводит снова к решению ОЛДУ, поскольку

,  .

Аксиомы линейности для пространства  легко проверяются, при этом нулевым элементом пространства  является тривиальное решение ОЛДУ .

Утверждение 2. Пространство  изоморфно пространству .

В самом деле, для  имеем в точке  , , ,  и . Указанное отображение  – гомоморфизм, поскольку каждому элементу  соответствует определенный элемент из , причем сумме прообразов в  соответствует сумма соответствующих образов в , умножение прообраза на число соответствует умножению на это же число его образа.

Обратное отображение:   реализуется
решением задачи Коши   и тоже определяет гомоморфизм, поскольку используемые здесь операции дифференцирования и интегрирования являются линейными.

Итак, между пространствами  и  установлено взаимно
однозначное отображение с сохранением действий сложения элементов и умножения элемента на число (изоморфное отображение), т.е. пространства  и  изоморфны, и поэтому их размерности совпадают.


На главную