Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Математический анализ лекции и задачи

Теорема Кантора

Можно доказать, что из всех бесконечных множеств счётные множества имеют наименьшую мощность, если только существуют бесконечные множества, неэквивалентные счётному. Такие множества называются несчётными, их существование следует из теоремы Кантора.

Теорема 1 (Кантора). Множество действительных чисел отрезка [0, 1] несчётно.

Доказательство. Предположим, что дано какое-то счётное множество (всех или только некоторых) действительных чисел a, лежащих на отрезке [0, 1]:

  (2.1)

 

 

……………………….....

 

………………………...

Здесь aik – k-я десятичная цифра числа ai. Построим дробь

 

диагональной процедурой Кантора, а именно: за b1 примем произвольную цифру, не совпадающую с a11, за b2 – произвольную цифру, не совпадающую с a22, и т. д.; вообще, за bn примем произвольную цифру, не совпадающую с ann. Эта десятичная дробь не может совпасть ни с одной дробью, содержащейся в перечне (1). Действительно, от a1 дробь b отличается по крайней мере первой цифрой, от a2 – второй цифрой и т. д.; вообще, так как bn¹ann для всех n, то дробь b отлична от любой из дробей ai, входящих в перечень (1). Таким образом, никакое счётное множество действительных чисел, лежащих на отрезке [0, 1], не исчерпывает этого отрезка. □

Замечание. Приведённое доказательство содержит небольшой «обман». Дело в том, что некоторые числа (а именно, числа вида p/10q) могут быть записаны в виде десятичной дроби двумя способами: с бесконечным числом нулей или с бесконечным числом девяток, например,

 

Таким образом, несовпадение двух десятичных дробей еще не гарантирует различия изображаемых ими чисел.

Однако если дробь b строить так, чтобы она не содержала ни нулей, ни девяток, полагая, например, bn=2, если ann=1 и bn=1, если ann¹1, то доказательство становится вполне корректным.

Примеры. Следующие множества эквивалентны отрезку [0, 1]:

1. Множество всех точек любого отрезка [a, b] или интервала (a, b);

2. Множество всех точек на прямой;

3. Множество всех точек плоскости, пространства, поверхности сферы, точек, лежащих внутри сферы, и т. д.;

4. Множество всех прямых на плоскости;

5. Множество всех непрерывных функций одного или нескольких переменных.

Множества, эквивалентные множеству точек отрезка [0, 1], называются множествами мощности континуума. Мощность континуума обозначается символом c (или символом À). Теорема Кантора в сочетании с предыдущей теоремой показывает, что À>À0.

Существуют ли множества мощности большей, чем c? Оказывается, существуют. Например, множество F всех вещественных (непрерывных и разрывных) функций, заданных на отрезке [0, 1], имеет мощность большую, чем c.

Можно доказать, что множества с наибольшей мощностью не существует, подобно тому, как не существует самого большого натурального числа.


Неопределенный интеграл лекции и задачи