Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Неопределенный интеграл лекции и задачи

Определение и свойства неопределенного интеграла

Первообразная и неопределённый интеграл

В этом подразделе рассматривается задача отыскания функции, для которой заданная функция является производной.

Пусть D – конечный или бесконечный промежуток числовой оси, т. е. интервал, полуинтервал или отрезок, и на D определены функции f и F.

Функция F называется первообразной функцией (или, короче, первообразной) функции f на промежутке D, если F дифференцируема на D и в каждой точке этого промежутка производная функции F равна значению функции f:

 . (35.1)

Функция, имеющая в данной точке производную, непрерывна в этой точке (односторонне непрерывна, если речь идет об односторонней производной), поэтому первообразная F функции f непрерывна на промежутке D.

Пример. Функция  является первообразной функции  на всей числовой оси.

Решение интегралов Выполнение контрольного, курсового, типового расчета

Первообразная любой функции, как это было отмечено, непрерывна. Функция же, у которой существует первообразная, не обязательно непрерывна, например, у разрывной функции

 

на всей числовой оси существует первообразная

 

Лемма 1. Две дифференцируемые на промежутке D функции F и F являются первообразными одной и той же функции в том и только том случае, когда они отличаются на постоянную:

 .

Здесь и в дальнейшем C – произвольная постоянная.

Доказательство. Если F – первообразная функция f, т. е. , то и функция F+C является первообразной той же функции f, так как .

Если F и F – первообразные для одной и той же функции f, т. е. , то , значит, согласно следствию 1 теоремы Лагранжа, разность  – постоянная на промежутке D. □

Пусть функция f определена на некотором промежутке. Совокупность всех её первообразных на этом промежутке называется неопределённым интегралом от функции f и обозначается

 .

Символ ò называется знаком интеграла, а  – подынтегральной функцией.

Если F – какая-либо первообразная функции f на рассматриваемом промежутке, то пишут

 . (35.2)

Следует иметь в виду, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределённые интегралы, есть равенство между множествами.

Если F – какая-либо первообразная функции f на промежутке D, то, согласно формуле (35.2), под знаком интеграла стоит дифференциал функции F:

 .

По определению будем считать, что этот дифференциал под знаком интеграла можно записывать в любом из указанных видов, т. е. согласно этому соглашению

 .


Неопределенный интеграл лекции и задачи