Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Неопределенный интеграл лекции и задачи

Основные свойства интеграла

Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке D.

1. Если функция F дифференцируема на некотором промежутке, то на нём   или, что то же самое, .

Это сразу следует из определения неопределённого интеграла как совокупности всех дифференцируемых функций, дифференциал которых стоит под знаком интеграла.

2. Пусть функция f имеет первообразную на промежутке D, тогда для всех  имеет место равенство

 . (35.3)

Отметим, что в этом равенстве под интегралом  понимается произвольная первообразная F функции f. Поэтому равенство (35.3) можно записать в виде

 ,

справедливость последнего равенства следует из того, что F – первообразная f.

3. Если функции f1 и f2 имеют первообразные на промежутке D, то и функция f1+f2 имеет первообразную на этом промежутке, причём

 . (35.4)

Свойство интеграла, выражаемое формулой (35.4), называется аддитивностью интеграла относительно функций.

Доказательство. Пусть F1 и F2 – первообразные соответственно функций f1 и f2, т. е. в каждой точке  выполняются равенства  . Положим ; тогда функция F является первообразной для функции f1+f2, так как

 .

Следовательно, интеграл  состоит из функций , а сумма интегралов . Поскольку C, C1 и C2 – произвольные постоянные, оба эти множества, т. е. левая и правая части равенства (4), совпадают. □

4. Если функция f имеет первообразную на промежутке D и k – число, то функция kf также имеет на D первообразную, причём при k¹0 справедливо равенство

 . (35.5)

Доказательство. Пусть F – первообразная функции f, т. е. . Тогда функция kF является первообразной функции kf на промежутке D при любом kΡ, так как . Поэтому интеграл  состоит из всевозможных функций вида , а интеграл  – из всевозможных функций . В силу произвольности постоянной C, при условии , обе совокупности функций совпадают. Это и означает справедливость равенства (35.5). □

Следствие (линейность интеграла). Если функции f1 и f2 имеют первообразные на промежутке D, а l1 и l2 – числа, то функция l1f1+l2f2 также имеет первообразную на D, причём при  выполняется равенство

 .

Это непосредственно следует из свойств (35.3) и (35.4).


Неопределенный интеграл лекции и задачи