Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Неопределенный интеграл лекции и задачи

Нахождение неопределенных интегралов

Интегрирование по частям

Теорема 2. Если функции  и  дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл , то на нём существует и интеграл , причём

 . (36.4)

Доказательство. Пусть функции  и  дифференцируемы на промежутке D, тогда по правилу дифференцирования произведения для всех точек этого промежутка имеет место равенство

 ,

поэтому .

Интеграл от каждого слагаемого правой части существует, так как

 ,

а интеграл  существует по условию теоремы. Поэтому существует и интеграл , причём

 . (36.5)

Подставляя в правую часть (10)  вместо  и относя произвольную постоянную C к интегралу  получим формулу (9). □

Пример. Вычислить интегралы:

1. .

2. .


Неопределенный интеграл лекции и задачи