Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Неопределенный интеграл лекции и задачи

Нахождение неопределенных интегралов

Интегрирование рациональных функций

Переходим к изучению вопроса об интегрировании рациональных функций вида , где  – некоторые многочлены.

Назовём дробь такого вида неправильной, если степень многочлена   больше либо равна степени многочлена . Так как из неправильной рациональной дроби можно исключить целую часть, интегрирование которой не представляет трудностей, то достаточно заняться интегрированием правильных дробей (у которых степень числителя меньше степени знаменателя).

Из них мы остановимся здесь на так называемых простых дробях; это будут дроби следующих четырех типов:

 ,

где   – вещественные числа; кроме того, предполагается, что трёхчлен  не имеет действительных корней, так что .

Дроби I и II интегрируются элементарно при помощи замены переменной:

 ,

 .

Рассмотрим теперь интеграл от дроби III. Замечая, что , и полагая , имеем

 

 

 .

Для интеграла IV выведем рекуррентное соотношение. Полагая, как и выше, , подобным же образом получим

 . (36.6)

Первый из этих интегралов вычисляется сразу:

  .

Второй же интеграл правой части равенства (36.6) вычисляется несколько сложнее. Пусть

 

Проинтегрируем интеграл  по частям, положив  и, следовательно, , а затем, добавив и вычтя  в числителе получившейся под знаком интеграла функции и произведя деление так, как это указано ниже, получим

 

 ,

т. е.

 ,

откуда

  (36.7)

Интеграл   легко вычисляется; формула (36.7) позволяет вычислить ; зная же , по той же формуле можно найти значение , продолжая этот процесс дальше, можно найти выражение для любого интеграла  (m = 1, 2, ...).

В курсе алгебры доказывается, что любая дробь вида  может быть представлена в виде линейной комбинации дробей I-IV. Поэтому из результатов этого пункта непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 1. Неопределённый интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, где знаменатель дроби не обращается в нуль, существует и выражается через элементарные функции, являясь алгебраической суммой суперпозиций рациональных дробей, арктангенсов и натуральных логарифмов.


Неопределенный интеграл лекции и задачи