Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Математический анализ лекции и задачи

Верхняя и нижняя грани множества

Ограниченные и неограниченные множества

Введём ряд нужных в дальнейшем понятий и изучим некоторые свойства числовых множеств.

Если для подмножества X действительных чисел существует такое число b, что оно не меньше каждого числа xÎX, т. е. для любого xÎX выполняется неравенство x£b, то множество X называется ограниченным сверху, а число b – числом, ограничивающим сверху множество X.

С помощью логических символов определение ограниченного сверху множества записывается в виде:

X ограничено сверху Û $bΡ "xÎX: x£b;

отсюда

X не ограничено сверху Û "bΡ $xÎX: x>b,

т. е. множество X не ограничено сверху, если, каково бы ни было число bΡ, найдётся такое число xÎX, что x>b.

Множество, не являющееся ограниченным сверху множеством, называется неограниченным сверху множеством.

Заметим, что если число b ограничивает сверху множество X, то любое число, большее b, также ограничивает сверху множество X.

Если $bÎX "xÎX: x£b, то число b называется наибольшим или максимальным числом множества X.

Очевидно, что, если во множестве X имеется наибольшее число, то оно единственно, а само множество X в этом случае ограничено сверху этим числом.

Аналогично множеству, ограниченному сверху, определяется множество, ограниченное снизу.

Если для подмножества X действительных чисел существует такое число a, что оно не больше каждого числа xÎX, т. е. для любого xÎX выполняется неравенство a£x, то множество X называется ограниченным снизу, а число a – числом, ограничивающим снизу это множество.

Множество, не являющееся ограниченным снизу множеством, называется неограниченным снизу множеством.

С помощью логических символов определение ограниченного снизу множества записывается в виде:

X ограничено снизу Û $aΡ "xÎX: x³a;

отсюда

X не ограничено снизу Û "aΡ $xÎX: x<a,

т. е. множество X не ограничено снизу, если, каково бы ни было число aΡ, найдётся такой элемент xÎX, что x<a.

Очевидно, что если число a ограничивает снизу множество X, то и любое число a'<a также ограничивает снизу это множество.

Если $aÎX "xÎX: a£x, то число a называется наименьшим или минимальным числом множества X.

Если во множестве X имеется наименьшее число, то оно единственно, а само множество X в этом случае ограничено снизу этим числом.

Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным множеством.

Другими словами, множество XÌ¡ называется ограниченным, если существуют такие числа a и b, что для любого xÎX выполняется неравенство a£x£b.

Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Очевидно, что неограниченное множество может быть неограниченным и сверху и снизу или только сверху или снизу.


Неопределенный интеграл лекции и задачи