Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Математический анализ лекции и задачи

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Последовательность, имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой.

Если в определении предела последовательности положить a=0, то неравенство (1) примет вид

  . (4.2)

Таким образом, данное выше определение бесконечно малой можно подробнее сформулировать без упоминания термина «предел»:

Последовательность называется бесконечно малой, если она по абсолютной величине становится и остаётся меньшей сколь угодно малого наперёд заданного числа e > 0, начиная с некоторого номера.

Можно показать, что, если последовательность xn®a, то она может быть представлена в виде

  ,

где an есть бесконечно малая, и обратно, если последовательность xn допускает такое определение, то она имеет пределом a. Это следует из того, что

 .

Этим свойством часто пользуются на практике для установления предела последовательности.

Последовательность xn называется бесконечно большой, если она по абсолютной величине становится и остаётся большей сколь угодно большого наперёд заданного числа Е > 0, начиная с некоторого номера:

  .

Примеры. Бесконечно большими являются следующие последовательности: .

Если последовательность xn является бесконечно большой и, начиная с некоторого n, сохраняет определённый знак (+ или –), то в соответствии со знаком говорят, что последовательность xn имеет предел +¥ или –¥, и пишут:

 .

Очевидно, что бесконечно большая величина xn в общем случае характеризуется соотношением: |xn|®+¥.

Докажем, что если последовательность xn является бесконечно большой, то её обратная величина  будет бесконечно малой.

Возьмём любое число e>0. Так как |xn|®¥, то для числа E=1/e найдётся такой номер N, что

 .

Тогда для тех же значений n будет

 . □


Неопределенный интеграл лекции и задачи