Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Математический анализ лекции и задачи

Теорема о единственности предела последовательности

Докажем следующую теорему.

Теорема 1. Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. xn®a и xn®b одновременно. Выберем числа e1 и e2 таким образом, чтобы множества, задаваемые неравенствами , не пересекались. По определению предела последовательности, начиная с некоторых значений N1 (N2), все члены последовательности принадлежат первому (второму) из этих множеств. Выберем в качестве N3=max(N1, N2). Тогда, начиная с номера N3, все члены последовательности принадлежат обоим этим множествам, что невозможно. □

Задание. Доказать, что если последовательность сходится, то она является ограниченной, т. е. все её значения по абсолютной величине не превосходят некоторого числа.

Пример. Доказать, что .

Предельный переход в неравенствах

Теорема 2. Если для двух последовательностей xn, yn всегда выполняется неравенство xn ³ yn, причём каждая из них имеет конечный предел: xn ® a,
yn ® b, то a ³ b.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. a < b. Выберем e > 0 таким образом, чтобы окрестности точек a и b не пересекались. Тогда все элементы последовательности xn, начиная с некоторого N1, попадают в e-окрестность точки a, а все элементы последовательности yn, начиная с некоторого N2, попадают в e-окрестность точки b. Выберем N3 = max(N1, N2). Тогда "n ³ N3 справедливо неравенство xn < yn. Получили противоречие. □

Замечание. Из строгого неравенства xn>yn для сходящихся последовательностей, вообще говоря, следует неравенство . Приведите пример.

Теорема 3. Если для последовательностей xn, yn, zn всегда выполняются неравенства xn£yn£zn, причём , тогда .

Доказательство проводится так же, как и в предыдущей теореме.

Следствие. Если для всех n a £ yn £ zn, причём , тогда .


Неопределенный интеграл лекции и задачи