Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Математический анализ лекции и задачи

Свойство пределов последовательностей

Теорема. Если последовательности xn, yn имеют конечные пределы: , то их произведение также имеет конечный предел, причём

 .

Доказательство. Поскольку , как и в предыдущем случае, имеем

 ,

где an, bn – бесконечно малые. Поэтому

 .

Выражение в скобках в правой части последнего равенства есть бесконечно малая в силу лемм 1 и 2 о бесконечно малых, т. е. . □

Эта теорема также может быть распространена на случай любого конечного числа сомножителей.

Теорема 6. Если последовательности xn, yn имеют конечные пределы: , b ¹ 0, то их отношение также имеет конечный предел, причём

 .

Доказательство. Поскольку b ¹ 0, начиная с некоторого места, не только yn ¹ 0, но даже

 ,

где r – постоянное число. Ограничимся теми значениями номера n, для которых это выполняется; тогда отношение  заведомо имеет смысл. Имеем

 .

Выражение в скобках, в силу лемм 1 и 2, есть величина бесконечно малая. Множитель же при нём, на основании сказанного вначале, будет ограниченной переменной:

 .

Следовательно, по лемме 2, все произведение справа будет бесконечно малым, а оно представляет разность между последовательностью  и числом . □


Неопределенный интеграл лекции и задачи