Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Математический анализ лекции и задачи

Неопределённые выражения

Выше были оставлены без рассмотрения случаи, когда пределы переменных xn, yn (один или оба) бесконечны или, если речь идет о частном, когда предел знаменателя равен нулю. Из этих случаев мы здесь остановимся лишь на четырёх, представляющих некоторую важную и интересную особенность.

1. Рассмотрим сначала частное и предположим, что обе переменные xn и yn одновременно стремятся к нулю. Этот предел, в зависимости от частного закона изменения обеих переменных, может иметь различные значения или даже вовсе не существовать.

2. В случае, когда одновременно xn®±¥, yn®±¥, имеет место подобное же обстоятельство.

3. Если xn®0, yn®±¥, то, исследуя поведение произведения xnyn, мы сталкиваемся с такой же особенностью, как и в пунктах 1 и 2.

4. Рассмотрим сумму xn+yn. Здесь оказывается особым случай, когда xn и yn стремятся к бесконечности разных знаков: именно в этом случае об их сумме ничего определённого сказать нельзя, не зная самих последовательностей xn и yn.

В перечисленных выше случаях говорят, что речь идёт о неопределённостях следующего вида:

 .

В этих случаях приходится, учитывая закон изменения последовательностей xn и yn, непосредственно исследовать интересующее нас выражение. Подобное исследование получило название раскрытие неопределенности.

Пример. Вычислить .


Неопределенный интеграл лекции и задачи