Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Математический анализ лекции и задачи

Лемма о вложенных отрезках

Рассмотрим ещё одно утверждение о пределе монотонных последовательностей.

Лемма 3. Пусть даны монотонно возрастающая последовательность xn и монотонно убывающая последовательность yn, причём всегда

 . (6.2)

Если их разность yn–xn стремится к 0, то обе последовательности имеют общий конечный предел.

Доказательство. В силу монотонности при всех значениях n имеем: yn £ y1, а значит, ввиду (4), и xn < y1. Возрастающая последовательность xn оказывается ограниченной сверху, следовательно, она имеет конечный предел

 .

Аналогично для убывающей переменной yn будем иметь yn>xn³x1, поэтому она тоже стремится к конечному пределу

 .

По теореме 4 имеем

 ,

так что c1=c. □

Доказанному утверждению можно придать другую форму, в которой оно чаще применяется.

Лемма 4. Пусть имеется бесконечная последовательность вложенных один в другой отрезков

  ,

причём длины этих отрезков стремятся к 0 с возрастанием n:

 .

Тогда концы an и bn отрезков (с разных сторон) стремятся к общему пределу

 ,

который представляет единственную точку, общую всем отрезкам.

Доказательство. Согласно условию

 ,

так что левый конец an и правый конец bn n-го отрезка играют здесь роль монотонных последовательностей xn и yn.

Так как an стремится к c возрастая, а bn – убывая, то для всех n имеем

 ,

т. е. точка c, действительно, принадлежит всем нашим отрезкам. В то же время другой, отличной от c, точки c1 с тем же свойством быть не может, ибо иначе мы имели бы

  ,

и длина n-го отрезка не могла бы стремиться к нулю. □


Неопределенный интеграл лекции и задачи