Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Математический анализ лекции и задачи

Критерий сходимости Больцано–Коши

Общий критерий сходимости последовательности принадлежит чешскому математику Больцано и французскому математику Коши. Для его формулировки нам понадобится следующее понятие.

Назовём последовательность фундаментальной (сходящейся в себе, последовательностью Коши), если для каждого числа e > 0 существует такой номер N, что неравенство

   (7.1)

выполняется для всех n1>N, n2>N.

Теорема (критерий сходимости Больцано–Коши). Для того чтобы последовательность xn имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность xn имеет
определённый конечный предел. Обозначим его через а. Тогда, каково бы ни было число e>0, найдётся такой номер N, что для n > N имеет место неравенство

 .

Возьмём теперь любые два номера n1 > N, n2 > N, для них одновременно будет

  ,

откуда

 .

Этим необходимость условия доказана.


Неопределенный интеграл лекции и задачи