Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Математический анализ лекции и задачи

Критерий сходимости Больцано–Коши

Достаточность. Пусть теперь последовательность xn фундаментальна. По условию (7.1), для любого e > 0 существует такое число N = N(e), что  для всех n1 > N, n2 > N. Зафиксируем n1 = N + 1, тогда при n2 > N

 . (7.2)

Отсюда следует, что любая фундаментальная последовательность, начиная с некоторого номера, становится ограниченной.

Определим числа an и bn равенствами:

 .

Тогда an £ an+1 £ bn+1 £ bn при любом n. Последовательность вложенных отрезков  имеет, по лемме о вложенных отрезках, общую точку c.

Для любого n имеет место неравенство

 ,

а при k ³ n

 ,

тогда при k ³ n имеем

 . (7.3)

Но из (7.2) следует, что при n>N

  ,

т. е. . (7.4)

Объединяя (7.3) и (7.4), находим, что при любом k > N

 

и . □

Пример. Используя критерий сходимости, показать, что следующая последовательность не имеет конечного предела: .


Неопределенный интеграл лекции и задачи