Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Математический анализ лекции и задачи

Определение подпоследовательности

Рассмотрим теперь, наряду с последовательностью xn, какую-либо извлечённую из нее частичную последовательность (или подпоследовательность)

 , (8.1)

где {nk} есть некоторая последовательность возрастающих натуральных чисел:

 

Здесь роль номера, принимающего последовательно все натуральные значения, играет уже не n, а k; nk же представляет собой последовательность, принимающую натуральные значения и, очевидно, стремящуюся к +¥ при возрастании k.

Теорема 9. Если последовательность xn имеет определённый предел a (конечный или нет), то тот же предел имеет и подпоследовательность (8.1).

Доказательство. Остановимся на случае конечного a. Пусть для заданного любого e > 0 нашлось такое число N = N(e), что при n > N уже выполняется неравенство:

 .

Ввиду того, что nk ® ¥, существует и такой номер K, что при k > K будет nk > N. Тогда, при тех же значениях k, будет выполняться неравенство

 ,

что и доказывает наше утверждение. Случай бесконечного предела доказывается аналогично. □

Если последовательность xn не имеет предела, то это не исключает возможности существования предела для какой-либо подпоследовательности (8.1). Такой предел называют частичным пределом последовательности xn.

Пример. .


Неопределенный интеграл лекции и задачи