Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Математический анализ лекции и задачи

Теорема Больцано–Вейерштрасса

Всегда ли для последовательности xn существуют частичные пределы? Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.

Теорема (Больцано–Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности xn всегда можно извлечь такую подпоследовательность (10), которая сходилась бы к конечному пределу.

Доказательство. Пусть все числа xn заключены между границами a и b. Разделим этот отрезок  пополам, тогда хоть в одной половине будет содержаться бесконечное множество элементов данной последовательности, ибо, в противном случае, и во всем отрезке  этих элементов содержалось бы конечное число, что невозможно. Итак, пусть  будет та из половин, которая содержит бесконечное множество чисел xn (или, если обе половины таковы, то – любая из них).

Аналогично, из отрезка  выделим его половину  – при условии, чтобы в ней содержалось бесконечное множество чисел xn, и т. д. Продолжая этот процесс до бесконечности, на k-й стадии его выделим отрезок , также содержащий бесконечное множество чисел xn.

Каждый из построенных отрезков (начиная со второго) содержится в предыдущем, составляя его половину. Кроме того, длина k-го отрезка, равная

 ,

стремится к нулю с возрастанием k. Применяя лемму о вложенных отрезках, заключаем, что ak и bk стремятся к общему пределу c.

Теперь построение частичной последовательности  произведём следующим образом. В качестве  возьмём любой (например, первый) из элементов xn нашей последовательности, содержащихся в . В качестве  возьмём любой (например, первый) из элементов xn следующих за  и содержащихся в , и т. д. Вообще, в качестве  возьмём любой (например, первый) из элементов xn, следующих за ранее выделенными  и содержащихся в . Возможность такого выбора, производимого последовательно, обусловливается именно тем, что каждый из отрезков   содержит бесконечное множество чисел xn, т. е. содержит элементы xn со сколь угодно большими номерами.

Далее, так как

 ,

то по теореме 5 . □


Неопределенный интеграл лекции и задачи