Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Функции

Понятие функции

Понятие функции является одним из самых важных понятий в математике и её приложениях. В курсе математического анализа будут сначала изучаться только действительные функции одного действительного аргумента, т. е. функции .

Пусть заданы числовые множества X, Y и некоторое правило f, ставящее в соответствие каждому элементу множества X единственный элемент множества Y. В таком случае говорят, что на множестве X задана функция f, множеством значений которой является множество Y.

Над функциями можно производить различные арифметические операции. Если даны две числовые функции f и g, определённые на одном и том же множестве X, а с – некоторое число (или, как часто говорят, константа), то функция cf определяется как функция, принимающая в каждой точке xÎX значение сf(х); функция f+g – как функция, принимающая в каждой точке xÎX значение f(х) + g(х); fg – как функция, в каждой точке принимающая значение f(х)g(х); наконец, f/g – как функция, в каждой точке xÎX равная f(х)/g(х) (при g(х) ¹ 0).

Числовая функция f, определённая на множестве X, называется ограниченной сверху (снизу), если множество её значений ограничено сверху (снизу). Иначе говоря, функция X ограничена сверху (снизу), если существует такая постоянная М, что для каждого xÎX выполняется неравенство f(х)£М (соответственно f(х)³М).

Функция f, ограниченная на множестве X как сверху, так и снизу, называется ограниченной на этом множестве.

Верхняя (нижняя) грань множества значений Y числовой функции у = f(х), определённой на множестве X, называется верхней (нижней) гранью функции f и обозначается

  .

Будем говорить, что числовая функция f, определённая на множестве X, принимает в точке x0ÎX наибольшее значение (наименьшее), если f(х) £ f(х0) (соответственно f(х)³f(х0)) для каждой точки xÎX. В этом случае будем писать  или  (соответственно  или ).

Наибольшее (наименьшее) значение функции называется также ее максимальным (минимальным) значением. Максимальные и минимальные значения называются экстремальными.

Очевидно, что если функция f принимает в точке x0 наибольшее (наименьшее) значение, то   (соответственно ).


Неопределенный интеграл лекции и задачи