Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Способы задания функции

Рассмотрим различные способы задания функций.

Прежде всего, функции могут задаваться с помощью формул: аналитический способ. Для этого используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход.

Примеры. 1. Функция sign х (от лат. signum знак) может быть записана с помощью нескольких формул:

 

2. Каждому рациональному числу поставим в соответствие число 1, а каждому иррациональному – число нуль. Полученная функция называется функцией Дирихле.

Второй способ задания функции – графический. Наглядность графика делают его незаменимым вспомогательным средством исследования свойств функции.

Функцию можно задать еще третьим способом – с помощью таблиц, т. е. для некоторых значений переменной х указать соответствующие значения переменной у. Данные таблиц могут быть получены как непосредственно из опыта, так и с помощью тех или иных математических расчётов.

Рассмотрим более подробно некоторые специальные аналитические способы задания функции.

Неявные функции. Пусть дано уравнение вида

 ,  (9.1)

т. е. задана функция F(x, у) двух действительных переменных x и у, и рассматриваются только такие пары x, у (если они существуют), для которых выполняется условие (9.1)).

Пусть существует такое множество X, что для каждого x0ÎX существует, по крайней мере, одно число у, удовлетворяющее уравнению F(x0, у) = 0. Обозначим одно из таких чисел через y0 и поставим его в соответствие числу x0ÎX. В результате получим функцию f, определённую на множестве X и такую, что F(x0, f(x0)) = 0 для всех x0ÎX. В этом случае говорят, что функция f задаётся неявно уравнением (1). Одно и то же уравнение (1) задаёт не одну, а некоторое множество функций.

Функции, неявно задаваемые уравнениями вида (1), называются неявными функциями в отличие от функций, задаваемых формулой, разрешённой относительно переменной у, т. е. формулой вида у = f(х).

Термин «неявная функция» отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ её задания. Одна и та же функция может быть задана как явно, так и неявно.

Сложные функции. Напомним, что если заданы функции у = f(х) и z = F(y), причём область определения функции F содержит область значений функции f, то каждому х из области определения функции f естественным образом соответствует z такое, что z = F(y), где у = f(x). Эта функция, определяемая соответствием z = F[f(x)], называется, как известно, сложной функцией или композицией (суперпозицией) функции f и F и обозначается через F°f, т. е. .

Сложная функция отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ её задания.

Обратные функции. Пусть задана функция f: X®Y и Yf – множество её значений. Совокупность всевозможных упорядоченных пар вида , образует функцию, которая называется обратной функцией для функции f и обозначается через . Обратная функция  ставит в соответствие каждому элементу  его прообраз , т. е. некоторое множество элементов. Тем самым обратная функция является, вообще говоря, многозначной функцией. Отображения f и  называются взаимно обратными.


Неопределенный интеграл лекции и задачи