Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Предел функции по подмножеству

При рассмотрении пределов функции часто приходится иметь дело с пределами сужений функций на том или ином множестве, т. е. с пределами функций, получающихся из данных функций, рассмотрением их не на всём множестве, на котором они заданы, а на каком-то содержащемся в нём.

Пусть . Предел в точке x0 сужения , функции f на множество E называется пределом функции f по множеству E в этой точке и обозначается через

 .

Понятие предела функции по множеству в точке x0 содержательно только для такого множества Е, для которого точка x0 является его точкой прикосновения (в этом случае она является и точкой прикосновения множества X).

Пример. Вычислить предел функции Дирихле в точке x0=0 по множествам .

Лемма 1. Если , x0 – точка прикосновения множества Е и существует предел  функции f в точке x0 (т. е. предел по множеству X), то в этой точке существует и предел функции f по множеству Е и значения обоих пределов равны:

 .

Доказательство. Если для любой последовательности  все последовательности  имеют один и тот же предел a, то это заведомо верно и для любой последовательности , так как EÌX. □

Отметим один часто встречающийся случай предела функции в точке, когда предел берётся по проколотой окрестности (она определена ниже) этой точки или по пересечению проколотой окрестности с множеством определения рассматриваемой функции.

Проколотой e-окрестностью точки x0 называется множество действительных чисел, удовлетворяющих неравенству .

Пример. Вычислить предел функции  по проколотой окрестности точки x0 = 0 и по всей окрестности точки x0 = 0.

Рассмотренный пример показывает, что одна и та же функция может по одному множеству иметь предел в некоторой точке, а по другому – не иметь предела в той же точке.


Неопределенный интеграл лекции и задачи