Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Непрерывные функции

Критерий существования предела функции в точке

Прежде чем перейти к определению непрерывных функций, рассмотрим следующую лемму.

Лемма 2. Пусть  и x0ÎX. Тогда, для того чтобы функция f имела предел в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы

 . (11.1)

Доказательство. Достаточность. Достаточность условия (2) для существования предела функции f в точке x0 очевидна: это условие даже сильнее, так как оно утверждает не только существование предела, но и определяет его значение, равное f(x0).

Необходимость. Пусть у функции f в точке x0 существует предел, равный a:

 .

Согласно определению предела это означает, что для любой последовательности , справедливо равенство

 .

В частности, поскольку x0ÎX, это равенство справедливо и для стационарной последовательности, составленной из одной точки x0, т. е. для последовательности xn = x0. В этом случае

  .

С другой стороны, поскольку предел постоянной равен самой этой постоянной, имеем

 .

Сравнивая два последних равенства, получаем f(x0) = a. □


Неопределенный интеграл лекции и задачи