Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Непрерывные функции

Дадим теперь определение функции, непрерывной в данной точке. Функция   называется непрерывной в точке x0ÎX, если

 . (11.2)

Условие (11.2) означает, что в случае непрерывности функции f в точке x0 предел в этой точке находится по очень простому правилу: следует вычислить значение самой функции f в точке x0.

Согласно лемме 2, условие (11.2) равносильно тому, что функция   имеет предел в точке x0 и что x0ÎX.

Само собой разумеется, что в том случае, когда для функции  предел  равен одной из бесконечностей ¥, +¥ или –¥ заведомо x0ÏX. В противном случае для стационарной последовательности xn=x0, имело бы место , и так как, по условию, функция f принимает только числовые значения, то вопреки предположению предел  был бы конечным. Из сказанного следует, в частности, что если у функции в некоторой точке существует бесконечный предел, то в ней функция заведомо не является непрерывной.

Для проведения анализа понятия непрерывности функции в точке дадим определения изолированных и предельных точек множеств.

Точка x0ÎX называется изолированной точкой множества XÌ¡, если существует окрестность этой точки, пересечение которой с множеством X состоит только из одной точки x0.


Неопределенный интеграл лекции и задачи