Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Непрерывные функции

Пример. Все точки множества натуральных чисел ¥ изолированы, а множество ¤ всех рациональных чисел не имеет изолированных точек.

Точка  называется предельной точкой множества XÌ¡, если в любой её окрестности существует отличная от неё точка, принадлежащая множеству X.

Иначе говоря, точка x0 называется предельной точкой множества X, если всякая её проколотая окрестность имеет с этим множеством непустое пересечение.

Замечание. Предельная точка множества может как принадлежать самому множеству, так и не принадлежать. Например, каждая точка отрезка  является предельной точкой интервала . При этом точки a и b не принадлежат указанному интервалу, а все остальные содержатся в нём.

Очевидно, что всякая точка прикосновения x0 множества является либо изолированной точкой этого множества, либо его предельной точкой.

Справедливо следующее предложение.

Лемма. Всякая функция непрерывна в каждой изолированной точке множества своего определения.

Доказательство. Пусть x0 – изолированная точка множества определения X функции f. Тогда, согласно определению, существует окрестность точки x0, пересечение которой с множеством X состоит из единственной точки x0. Какова бы ни была последовательность , для указанной окрестности, в силу определения предела последовательности, существует такой номер N, что для всех номеров n>N элементы последовательности xn принадлежат этой окрестности точки x0. Но поскольку других элементов множества X в рассматриваемой окрестности нет, имеем xn=x0. Это означает, что, начиная с номера N+1, последовательность  становится стационарной:  при n>N. Поэтому существует предел , что, в силу произвольного выбора последовательности , означает выполнение условия (3), т. е. непрерывность функции f в точке x0. □


Неопределенный интеграл лекции и задачи