Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Эквивалентность двух определений предела функции

Перейдём теперь к сравнению определений предела функции по Гейне и по Коши.

Теорема 1. Первое и второе определения предела функции в точке прикосновения множества определения функции эквивалентны.

Доказательство. Докажем, что если функция имеет в некоторой точке предел по Гейне, то она имеет тот же самый предел в этой точке и по Коши. Пусть , x0 – точка прикосновения множества X и  в смысле первого определения предела функции.

Ограничимся здесь случаем конечных x0 и a. Допустим, что предел по Коши не совпадает с пределом по Гейне, т. е.

  . (12.1)

Возьмём . Выберем в каждой такой d-окрестности точки x0 элемент xn. Тогда, по построению, имеем последовательность . При этом, в силу (4), все элементы последовательности  лежат вне
e-окрестности точки a.

С другой стороны, поскольку  в смысле первого определения, то для любой последовательности  имеет место равенство . Согласно определению предела последовательности это означает, что для любой окрестности точки a, в частности и для выбранной выше e-окрестности, существует такой номер N, что для всех номеров n>N имеет место .

Полученное противоречие доказывает сделанное утверждение. □

Теперь докажем, что если функция имеет в некоторой точке предел в смысле второго определения, то она имеет в этой точке тот же самый предел и в смысле первого определения. Пусть  в смысле предела функции по Коши, , x0 – предельная точка множества X, и пусть . Покажем, что тогда , т. е. точка a является пределом функции f и в смысле определения предела функции по Гейне.

Зададим произвольную e-окрестность точки a. Тогда, по условию теоремы,

 . (12.2)

Для этой d-окрестности найдётся такой номер N, что для всех номеров n>N будет выполняться условие . Но тогда, в силу (5), имеем . Это и означает, что .

Если же x0 – изолированная точка множества X, то функция f непрерывна в этой точке (почему?) и имеет место равенство . □


Неопределенный интеграл лекции и задачи