Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Односторонние пределы и односторонняя непрерывность

Понятие предела слева (справа) при x®x0, как и вообще понятие предела в точке, содержательно только тогда, когда точка x0 является точкой прикосновения множества, по которому берётся предел.

Рассмотрим взаимосвязь между существованием предела функции в точке и существованием односторонних пределов функции в этой точке.

Теорема 2. Пусть функция  и x0 – точка прикосновения множества X. Тогда функция f имеет предел в точке x0, в том и только том случае, когда в этой точке у функции f существуют пределы как слева, так и справа, и они равны. В этом случае их общее значение и является пределом функции в точке x0.

Доказательство. В самом деле, пусть у функции f существует предел (по множеству X) в точке x0. Но тогда в этой точке тот же предел существует и у её сужения по любому множеству (см. лемму 1), т. е. существуют оба односторонних предела при x®x0 и они равны a:

 . (12.3)

Пусть, наоборот, в точке x0 выполняется условие (12.3). Это значит, что

 ,

 .

Выберем d = min(d1, d2). Все значения функции f из проколотой
d-окрестности точки x0 попадают в e-окрестность точки a, т. е. . □

Если один из односторонних пределов функции в некоторой точке совпадает со значением функции в этой точке, то такая функция называется односторонне непрерывной в рассматриваемой точке.


Неопределенный интеграл лекции и задачи