Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Математический анализ лекции и задачи

Логические символы

В математических рассуждениях часто встречаются выражения «существует элемент», обладающий некоторыми свойствами, и «любой элемент» среди элементов, имеющих некоторое свойство. Вместо слова «существует» или равносильного ему слова «найдётся» иногда пишут символ $, т. е. перевернутую латинскую букву E (от англ. Existence существование), а вместо слов «любой», «каждый», «всякий» – символ ", т. е. перевернутое латинское A (от англ. аny любой). Символ $ называется символом существования, а символ " – символом всеобщности.

Кроме того, в математических доказательствах часто используют символ Þ, который означает «следует» (одно высказывание следует из другого), и символ Û, который означает равносильность высказываний, стоящих по разные от него стороны.

Действительные числа. Свойства действительных чисел

Определим действительные числа как множество бесконечных десятичных дробей, периодических и непериодических. Множество таких чисел обладает замкнутостью относительно операций сложения и умножения, т. е. сумма и произведение двух действительных чисел есть действительное число. Рассмотрим другие свойства действительных чисел.

I. Операция сложения

I1.   (коммутативность сложения).

I2.   (ассоциативность сложения).

I3.   (существование нуля).

I4.   (существование противоположного числа).

II. Операция умножения

II1.  (коммутативность умножения).

II2.  (ассоциативность умножения).

II3.  (существование единицы).

II4.  (существование обратного числа).

III. Связь операций сложения и умножения

  (дистрибутивность умножения относительно сложения).

IV. Упорядоченность

  имеет место только одно соотношение: a>0, a=0 или a<0.

При этом если  и a>0, b>0, то имеют место неравенства:

IV1. .

IV2. .

Свойство IV дает возможность ввести понятие сравнения для любых двух чисел.

Число b называют числом, большим числа a, и пишут b>a, или, что то же самое, число a называют меньшим числа b и пишут a<b, если b–a>0.

Наличие сравнения «больше» или «меньше» для любой пары действительных чисел называется свойством упорядоченности множества всех действительных чисел.


Неопределенный интеграл лекции и задачи