Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Свойства пределов функции

Пусть XÌ¡, x0 – точка прикосновения множества X. Справедливы следующие свойства пределов функций.

Свойство 1. Если предел функции  в точке x0 существует, то он единственен.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. у функции   в точке x0 существуют два различных предела a1 и a2. Это означает, что для любой последовательности  имеют место равенства  и .

Выберем e-окрестности точек a1 и a2 так, чтобы они не пересекались. Тогда для последовательности xn найдутся такие номера N1 и N2, начиная с которых все элементы последовательности  принадлежат e-окрестностям точек a1 и a2 соответственно. Выбирая N=max(N1, N2), получаем, что при n>N все элементы последовательности  принадлежат одновременно e-окрестностям обеих точек, что невозможно. □

Свойство 2. Если функция  имеет в точке x0 конечный предел, то существует такая проколотая окрестность точки x0, что функция f ограничена на пересечении этой окрестности с множеством определения X функции f.

Доказательство. Пусть  – конечный предел. Тогда, согласно определению предела функции по Коши, для любого e>0 существует такое d = d(e)>0, что для всех x, удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство . В частности, можно подобрать d так, чтобы выполнялось неравенство . Отсюда и следует ограниченность функции f на указанном множестве. □


Неопределенный интеграл лекции и задачи