Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Свойства пределов функции

Свойство. Если функции  и  таковы, что , то найдётся проколотая окрестность точки x0, на пересечении которой с множеством X выполнено неравенство f(x) < g(x).

Доказательство. Возьмём число c такое, что a < c < b. По определению предела найдутся проколотые окрестности точки x0, на пересечении которых с множеством X имеют место неравенства . Выбирая наименьшую из этих окрестностей, имеем:

  . □

Свойство 4. Пусть . Тогда, если f(x) > g(x), то
a ³ b; если f(x) ³ g(x), то a ³ b.

Свойство 4 выводится из свойства 3 методом от противного.

Свойство 5. Если , и существуют конечные или определённого знака бесконечные пределы , то .

Свойство 6. Если существуют пределы функций , то справедливы формулы:

 ,

 ,

 .

Последняя из формул справедлива в предположении, что b ¹ 0.

Свойства 5–6 могут быть доказаны одинаковым методом, основанным на соответствующих свойствах пределов последовательностей.

Пример. Доказать, что  (первый замечательный предел).


Неопределенный интеграл лекции и задачи