Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Определение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Все рассматриваемые в этом и следующем пункте функции будем предполагать определёнными на множестве XÌ¡ и рассматривать их конечные и бесконечные пределы при стремлении аргумента к конечной или к бесконечно удалённой точке x0.

Функция  называется бесконечно малой при x®x0, если .

Бесконечно малые функции играют особую роль среди всех функций, имеющих предел, связанную, в частности, с тем, что общее понятие конечного предела может быть сведено к понятию бесконечно малой. Сформулируем это утверждение в виде леммы.

Лемма 4. Конечный предел  существует и равен a тогда и только тогда, когда , где a(x) – бесконечно малая при x®x0.

Доказательство. Если , то, положив , получим, что

 .

Наоборот, если  и , то

 . □

Теорема 3. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых при x®x0, а также и произведение бесконечно малой при x®x0 на ограниченную на X функцию являются бесконечно малыми при x®x0.

Доказательство. То, что сумма и произведение конечного числа бесконечно малых являются бесконечно малыми, непосредственно следует из свойства суммы и произведения пределов функций (см. свойство 6) в том частном случае, когда эти пределы равны нулю.

Докажем последнее утверждение теоремы. Пусть  и f(x) – ограниченная функция, т. е. существует такая постоянная b > 0, что для всех  выполняется неравенство |f(x)| £ b. Если , то, согласно первому определению предела функции, имеем . Для всех n = 1, 2, ... выполняется неравенство |f(xn)| £ b, т. е. последовательность  ограничена. Но произведение бесконечно малой последовательности, в данном случае последовательности , на ограниченную последовательность, в данном случае на , является бесконечно малой последовательностью, поэтому . Так как это верно для любой указанной последовательности , то согласно тому же определению предела функции получим , а это и означает, что функция f(x)a(x) является бесконечно малой при x®x0. □

Наряду с бесконечно малыми в анализе часто встречаются бесконечно большие функции. Определим их.

Функция  называется бесконечно большой при x®x0, если .


Неопределенный интеграл лекции и задачи