Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

Между бесконечно большими и бесконечно малыми существует тесная связь.

Лемма 5. Если функция  бесконечно большая при x®x0, то функция  является бесконечно малой при x®x0.

Доказательство. Пусть произвольно зафиксировано e>0. Тогда, согласно условию , существует такая проколотая окрестность точки x0, что для всех точек  из этой окрестности выполняется неравенство , следовательно, и неравенство . А это и означает, что , т. е. что функция является бесконечно малой. □

Если же a(x) – бесконечно малая при x®x0 функция, то может случиться, что обратная величина  не будет определена на множестве, для которого точка x0 является точкой прикосновения (например, это заведомо имеет место при a(x) º 0 на X), и поэтому понятие предела  при  будет бессодержательно. Однако если X0 – такое подмножество множества X, на котором a(x) ¹ 0, и если x0 является точкой прикосновения множества X0, то функция  определена на X0 и на этом множестве . Именно в этом смысле говорят, что функция, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.

То обстоятельство, что функция, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, и наоборот, делает естественными следующие символические обозначения, часто употребляющиеся для сокращения записи: для любого числа a > 0 пишут:

  ,

 .

Как и в случае последовательностей, для функций также имеют место «неопределённые выражения», условно характеризуемые символами:

  .

В этом случае невозможно воспользоваться свойствами пределов функций, а нужно в каждом конкретном случае «раскрывать неопределённость», учитывая специфику функции. Позже мы ещё вернемся к этому вопросу, когда будем разбирать общие методы раскрытия неопределённостей с применением дифференциального исчисления.


Неопределенный интеграл лекции и задачи