Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Классификация бесконечно малых функций

Во многих случаях представляет интерес сравнение бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. Рассмотрим две бесконечно малые a(x) и b(x) при x®x0 и предположим, что b(x) не обращается в ноль в некоторой проколотой окрестности точки x0. Будем сравнивать эти бесконечно малые, изучая поведение их отношения при x®x0.

Дадим следующие определения.

Если , то говорят, что a(x) и b(x) бесконечно малые одного порядка при x®x0.

Если , то говорят, что a(x) бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с b(x) при x®x0, и пишут , x®x0.

Если a(x) и bk(x) – бесконечно малые одного порядка (k>0), то говорят, что b(x) величина k-го порядка относительно бесконечно малой a(x) при x®x0 и пишут , x®x0.

Если , то говорят, что a(x) и b(x) эквивалентные бесконечно малые при x®x0 и пишут , x®x0.

Замечание. Та же терминология применяется и при сравнении функций, не являющихся бесконечно малыми при x®x0. В этом случае добавляется ещё одно определение.

Если существует число C > 0 такое, что в некоторой проколотой окрестности точки x0 справедливо неравенство , то говорят, что функция a(x) ограничена относительно функции b(x) при x®x0, и пишут , x®x0.

Примеры. 1. Привести примеры на каждое из определений.

2. Доказать, что  при x®0.

3. Вычислить: .

4. Доказать, что  при x®0.


Неопределенный интеграл лекции и задачи