Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Точки непрерывности и точки разрыва функции

Ещё одна форма записи непрерывности функции в точке

Рассмотрим ещё раз определение непрерывности функции. Напомним, что функция   называется непрерывной в точке x0ÎX, если

 .

Перенесём постоянную f(x0) в последнем равенстве в левую часть и внесём её под знак предела. Заметим, что обозначение x®x0 при пределе функции равносильно обозначению x–x0®0. Поэтому последнее равенство можно переписать в эквивалентном виде:

 .

Разность x–x0 называется приращением аргумента и обозначается через Dx, а разность f(x) – f(x0) – приращением функции y = f(x), соответствующим данному приращению аргумента Dx, и обозначается через Dy. Таким образом,

 .

В этих обозначениях определение непрерывности функции принимает вид

 ,

т. е. непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Такая форма записи часто используется при исследовании непрерывности функции в точке.

Примеры. 1. Доказать, что функция , где c – константа, непрерывна на всей числовой прямой.

2. Доказать, что функция  непрерывна в каждой точке x0¹0.

3. Доказать, что функция  непрерывна на всей числовой прямой.


Неопределенный интеграл лекции и задачи