Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Критерий существования предела функции

Существование предела монотонной функции

Вопрос о существовании предела функции особенно просто решается для функций частного типа, представляющих обобщение понятия монотонной последовательности.

Функция   называется возрастающей (убывающей) на множестве X, если для любых таких точек x1ÎX и x2ÎX, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2) (соответственно неравенство f(x1) > f(x2)).

Если же для любых точек x1ÎX и x2ÎX, x1 < x2, выполняется неравенство f(x1)£f(x2) (соответственно неравенство f(x1) ³ f(x2)), то функцию называют неубывающей (невозрастающей). Иногда удобнее и в этом случае называть функцию возрастающей (убывающей) – но в широком смысле.

Возрастающие и убывающие на множестве X функции называются монотонными на этом множестве.

Теорема 4. Пусть функция  – неубывающая на (a, b), где, в частности, может быть . Если она ограничена сверху числом M, то существует конечный предел . Если же она не ограничена сверху, то .

Аналогично, если функция f ограничена снизу, то в точке a у неё существует конечный предел справа, а если f не ограничена снизу, то .

Подобные утверждения справедливы и для убывающих функций; их можно получить, перейдя от функции f к функции –f.

Доказательство. Из ограниченности f следует существование конечной точной верхней грани . Таким образом, , и для всякого e > 0 существует  такое, что . Но в силу того, что f не убывает, . Таким образом, для любого e>0 можно указать  такое, что  для всех x, удовлетворяющих неравенствам . Это и значит, что .

Пусть теперь неубывающая функция f не ограничена сверху. Тогда для любого M существует  такое, что M < f(x1), и вследствие того, что f не убывает на X,

 ,

а это и говорит о том, что . □


Неопределенный интеграл лекции и задачи