Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Критерий Коши существования предела функции

В настоящем пункте по аналогии со случаем последовательностей будет получено необходимое и достаточное условие того, что функция имеет конечный предел в данной точке x0.

Теорема 5 (критерий Коши). Для того чтобы функция  имела в точке x0 конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовало такое d>0, что для любых x1ÎX и x2ÎX, удовлетворяющих условиям , выполнялось неравенство

 .

Если же x0=¥, то критерий Коши имеет следующий вид:

для любого e > 0 существует такое d > 0, что для любых x1ÎX и x2ÎX,
удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство .

Доказательство. Необходимость. Пусть  и . Это означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех точек  справедливо неравенство

 .

Выберем x1ÎX и x2ÎX так, чтобы выполнялись условия . Тогда имеем

 . □

Достаточность. Пусть функция  такова, что для любого e > 0 существует такая окрестность точки x0, что для всех точек  из этой окрестности справедливо неравенство

 .

Покажем, что отсюда следует существование у функции f конечного предела в точке x0. Возьмём какую-либо последовательность  и произвольно зададим e>0. Для этого e, согласно сделанному предположению, существует такая окрестность точки x0, для всех точек  из которой справедливо неравенство

 .

Поскольку последовательность xn сходится к x0, существует такое N, что все xn при n > N попадают в указанную окрестность точки x0. Поэтому для всех n > N, m > N

 ,

т. е. числовая последовательность  удовлетворяет условиям критерия Больцано–Коши для числовых последовательностей и, следовательно, сходится.

Таким образом, для каждой последовательности , последовательность  сходится. Отсюда, как известно, следует существование конечного предела . □

Доказательства для бесконечно удалённой точки x0 проводится по аналогии.


Неопределенный интеграл лекции и задачи