Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Предел и непрерывность композиции функции

Короче (но менее точно), непрерывная функция от непрерывной функции непрерывна.

Доказательство. Обозначим значение предела (18.2) через z0:  (z0 – число, либо одна из бесконечностей) – и зафиксируем произвольным образом окрестность U = U(z0) точки z0. Тогда, согласно определению предела, существует такая окрестность V = V(y0) точки y, что если

, (18.3)

то  . (18.4)

Далее, для полученной окрестности V(y0), в силу существования предела (18.1), найдётся такая окрестность W=W(x0), что если

  , (18.5)

то ,

а так как , то

 . (18.6)

Из выполнения условий (18.5)-(18.6), в силу (18.3)-(18.4), при  имеем: если выполнено включение (18.5), то

 .

Так как окрестность U(z0) точки z0 была произвольна, то это означает, что при x®x0 у функции  существует предел, равный z0:

  . □

Утверждение следствия является частным случаем теоремы, когда  и  (при этих предположениях точки x0 и y0 принадлежат соответственно множествам X и Y, поэтому являются их точками прикосновения):

  .

Замечание. Утверждение следствия теоремы 6 можно записать в виде формулы

 , (18.7)

из которой видно, что операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия непрерывной функции.

В самом деле, левая часть равенства (18.7), в силу непрерывности функции   в точке x0 (см. следствие теоремы 6), равна . Этому же значению  равна и правая часть равенства, но уже в силу непрерывности функции f в той же точке x0.

Можно показать, что все рассмотренные ранее элементарные функции и их суперпозиции непрерывны на области их определения.


Неопределенный интеграл лекции и задачи