Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Свойства функций, непрерывность на отрезке

Ограниченность непрерывных на отрезке функций

Функция , называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке множества X.

Важным классом непрерывных функций является класс функций, непрерывных на промежутках числовой оси. Начнём его изучение с функций, непрерывных на отрезках. Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то её непрерывность в точке x=a означает непрерывность справа, а её непрерывность в точке x=b – непрерывность слева.

Наибольшим  (наименьшим ) значением функции  называется наибольшее (наименьшее) значение множества всех её значений. Очевидно, что если у функции f существует наибольшее (наименьшее) значение, то оно является её верхней (нижней) гранью  (соответственно ).

Теорема 7 (теорема Вейерштрасса). Непрерывная на отрезке функция ограничена и принимает на нём наибольшее и наименьшее значение.

Доказательство. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и пусть ; как и всякая верхняя грань непустого множества чисел, M может быть либо конечной, либо бесконечной, равной +¥. Покажем, что M<+¥ и что существует такая точка , что .

Выберем какую-либо последовательность таких чисел an, что

 . (19.1)

Согласно определению верхней грани функции для каждого an существует такая точка , что

 . (19.2)

С другой стороны, поскольку M – верхняя грань функции f, для всех точек   справедливо неравенство

 .  (19.3)

Последовательность  ограничена:  для всех n, поэтому по теореме Больцано–Вейерштрасса из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность

 .  (19.4)

Так как  для всех k, то и , т. е. x0 – точка отрезка [a, b].

Из неравенств (19.2) и (19.3) следует, что для всех k справедливы неравенства

 . (19.5)


Неопределенный интеграл лекции и задачи