Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Свойства функций, непрерывность на отрезке

Предел всякой подпоследовательности последовательности, имеющей конечный или бесконечный предел, равен пределу всей последовательности; поэтому из (19.1) имеем . Переходя в (19.5) к пределу при k®¥,
получаем

 . (19.6)

С другой стороны, в силу непрерывности функции f на отрезке [a, b], она непрерывна в точке x0 этого отрезка и, таким образом, из (19.4) следует, что

 . (19.7)

Из формул (19) и (20) имеем .

Таким образом, доказано, что верхняя грань M функции f совпадает со значением функции в точке x0 и, следовательно, конечна. Тем самым функция f
ограничена сверху, и её верхняя грань достигается в точке .

Аналогично доказывается, что непрерывная на отрезке функция ограничена снизу и достигает на нём своей нижней грани. □

Пример. Показать, что на интервале непрерывная функция может быть неограниченной и не достигать верхней (нижней) грани.


Неопределенный интеграл лекции и задачи