Свойства функций, непрерывность на отрезке
Предел всякой подпоследовательности последовательности, имеющей конечный или бесконечный предел,
равен пределу всей последовательности; поэтому из (19.1) имеем 
.
Переходя в (19.5) к пределу при k®¥,
получаем
. (19.6)
С другой стороны, в силу непрерывности функции f на отрезке [a, b], она непрерывна в точке x0 этого отрезка и, таким образом, из (19.4) следует, что
. (19.7)
Из формул (19) и (20) имеем 
.
Таким образом, доказано, что верхняя грань M функции
f совпадает со значением функции в точке x0 и, следовательно, конечна. Тем самым
функция f
ограничена сверху, и её верхняя грань достигается в точке 
.
Аналогично доказывается, что непрерывная на отрезке функция ограничена снизу и достигает на нём своей нижней грани. □
Пример. Показать, что на интервале непрерывная функция может быть неограниченной и не достигать верхней (нижней) грани.